把数学思想方法适当地说出来（张奠宙）
发布时间：2016-08-15
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2014.10 数学版
把数学思想方法适当地说出来
—从“文字代表数”的意义说到方程的本质
◇张奠宙
现在提倡数学“四基”教学，数学基本思想方法是其中的一部分。 为了使少年儿童更好地受到数学思想方法的熏陶，教材编写者需要做出不懈的努力。 在这方面，我
们需要改进的地方不少。 以下就“文字代表数”和方程的关联做一些分析。
方程是代数学的核心内容。 长期以来，许多小学数学教材本着“代数、代数，就是文字代表数”的通俗理解，都把文字代表数放在“简易方程”单元的前面。 然而，为
什么要用文字代表数？ 它和方程的关系是什么？ 它的背后蕴含着怎样的数学思想方法？ 大都没有深究。 教材处理上往往是眉毛胡子一把抓，随意地罗列一番，把其中蕴含的数学思想方法给冲淡甚至遗失了。 我们先看某教材（2006 年 3 月第 2 版）的编排。
一、 某教材“文字代表数”的编排分析
其中某一成分，用符号或文字代替。 然后根据数学内容推算出这些符号或文字所代表的数。 例如：
已知●+●+●=12，即 3×●=12，●=？
已知 n×5=15，n=？
这样的例子，已经具有简易方程的雏形，是和方程概念密切相关的。
遗憾的是，紧接着的第 2 页是用字母呈现乘法交换律 a×b=b×a， 说这也是用文字代表数。 这种泛指的用文
字 “代表 ”某人某物的做法 ，乃是常识 ，没有多少数学含
量 。 至于该页下部用英文字母表示度量衡单位（以 kg 表示千克等），文字代表的不是“数”，显然和文字代表数的意义不符，有些跑题了。
该 单元的第 3 页是用英文字母 a 表示某正方形的边长，然后给字母 a 赋值，如令 a=6，然后计算其面积和
第 1 页（如图 1）做得不错［1］。 把算术中的算式隐去周长。 这里几乎是重复已学知识，与本单元的主题 “方
程 ”也没有什么关系。
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到了该单元的第 4 页，突然出现重大跳跃：把字母
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作为变量， 描述了小红的年龄和她父亲年龄的函数关
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系：若记父亲年龄为 m、小红年龄为 a，那么 m=a+30。 这
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一跳跃，跨度很大。 第 5 页继续扩大这种跳跃度。
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评
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我们将这 5 页教材复述于此，就会觉得，教材编写
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论
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者只是将“文字代表数”从字面意义上理解“代表”二字，
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随意地排列几种类型而已。 这几页内容的背后所蕴含的
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与
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数学思想方法，则只字未提。
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建
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二、
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“
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文字代表数
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”
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所承载的两类思想方法
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用文字代表数的思想内涵，可以分为以下两大类。
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议
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第一类是常识意义下使用符号、 文字来代表事物。
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这在日常生活以及语文训练中已经大量使用。 例如：
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* 每个人有一个名字，名字就是文字。 中文名、英文
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名都是一种符号。 其意 在于用姓名代表人。
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图 1
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* 用文字泛指某一个人，如 某甲。 “甲”就表示一个人。用英文字母 A 表示某人，当然也可以。乘法交 律 a×b=b×a 中用文字代表数，即属于此 。
* 用文字代表一部分事物。 如本班某老 A，就是用字母泛指本班教 群体中的任何一位。 如果 正方形 长为a，也是用 a 泛指任何正方形的 。
* 用文字表示某一 律。 如用中文表示 准体重公式：成年男子的 准体重（千克数）等于身高（厘米数）减去 105。 当然，也可以用英文字母和数学符号来表示：w= h-105。
* 泛指一个自然数。 如人人都有两只手， 手的只数等于人数乘 2。 用英文字母写成式子就是 h=2n，其中 n
是人数，h 是手的只数。
总之，这一类的用文字代表数，使用的是普通常识，描述的对象是已知的对象或规律，目的是为了使表示更加简单、方便、好用。
第二类的文字代表数，是用文字代表一个特定的未知数。 这是一种特殊的思维方式，即为了寻求未知数，从
文字符号所体现的数量关系中，经过各种运算、变换，最
终找到答案。 我们将它称作方程思想方法，这种数学方法在小学算术中已经有所蕴含。 如上述教材中的例子：
* 已知●+●+●=12，即 3×●=12，●=？
未知的是●，数量关系是 3×●=12，由此确定●的
值。
* 已知 n×5=15，n=？
欲求 n 的 ，借助已知的数量关系 n×5=15，可知 n=
3。
在这一过程中，对象是未知的特定的数。 和第一类中的文字代表泛指的已知数是不同的思维过程。
如果要打个比方，不妨认为第二类的文字代表数好像是在寻找罪犯。 罪犯姓什名谁，我们不知道，因而只能用一个符号或代号作代表。 然后凭借罪犯遗留在现场的痕迹和其他信息，通过与我们已知的事实和信息进行比对，最后找出罪犯。
从以上的分析可知，上述教材“文字代表数”的 5 页
内容，笼统地在 “代表 ”二字上做文章，没有在数学思想方法上进行分类， 更没有由浅入深地进行次序编排，需
要改进（ 教材 2014 年版已作了 大 — 者注）。
三、 一点建议
“文字代表数”在国外有许多研究，其中一项经典的
工作是英国关于儿童数学概念发展水平的研究（CSMS）［2］。
我们可以加以借鉴，在教材上作如下安排：
第 1 页：用字母代表任意的数。
如乘法交 律：a×b=b×a。 我 用字母 a、b 表示的数学式子，代替“两个数相乘，交 它 的位置，其乘 不变”的 言描述， 明了。
第 2 页：用字母表示一 数。
如正方形的 用字母 a 表示， 那么它的周 是
4a，面 是 a2。 使用 只要 a 一个确定的 ，如 a=6 厘
米，那么 个正方形的周 是 24 厘米，面 是 36 平方厘米。 用文字表示公式，容易 。
第 3 页：用字母 n 代表自然数。
如 ，一个人有 2 只手，那么 n 个人有 2n 只手。 言简洁， 算也非常方便。 （ 多教案用 n 只青蛙 n 嘴，
2n 只眼睛 4n 条腿，也很好）
第 4 页：用字母表示特定的未知数。
例如，我不知道一支 笔多少 ，将它用字母 a 表
示。 但是我知道 笔是 5 元钱（已知）， 笔、 笔各一支需要付 11 元钱。 那么只要写出式子 a+5=11， 就知道
a=6。
种用字母表示未知数，然后通 式子运算， 行推理求得其 的数学方法，是数学中特有的一种重要思想方法。
以上 4 页， 引导学生走向求解方程的重大数学思想方法，已经达到目的。 至于上述教材中关于爸爸年龄的问题，属于函数概念的范畴，也许放在 “数学广角 ”或
者练习中比较合适。 无论如何，不要冲淡 “用文字代表特定未知数 ”这一主旨，方程毕竟是本单元的主题。 至
于乘法交换律 a×b=b×a，虽然也用文字代表数，却与求一个未知数的要求完全无关。 指出这种差异，是提升学生数学思维能力的重要举措。 希望教材编写者站得高些，想得深些，写得好懂些、有趣些，给学生更好的精神食粮。
四、 对于字母表示数，功夫要花在“字母参与运算”
上
数学的价值在于可以运算。 记得一位数学名家给笔者讲过一个故事：“有一次，我曾和美国的拓扑学大家惠特尼谈起什么是代数，我认为‘文字代表数’并非本质所在， 本质在于文字可以和数字以及其他符号进行运算。惠特尼一听，把大腿一拍，说：‘对啊！ 我们不知道字母 x
是多少，却可以参与运算了。 这就是数学！ ’”
这里，我们引用 CSMS 数学研究小组的著作《孩子们的数学理解（11~16 岁）》 里的一张图中所包含的 4
道测试题［2］：
图 2
数学版 2014.10
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