扩展性阅读 本期专题栏目主持人：庄惠芬 数学建模与儿童发展 【主持人语】 数学建模：数学教育和儿童立场的美丽遭遇 成尚荣先生在《儿童立场：教育从这儿出发一文》中鲜明地指出：儿童的发展是现代教育核心价值的定位，儿童立场应是现代教育的立场。江苏省中小学教学研究室王林老师在总结江苏小学数学教学流派的思想内核时也指出：儿童是数学教育的出发点与归宿。从儿童的数学学习和发展出发，我们的数学教育首先应该是为了儿童、基于儿童并最终指向儿童的。 由此出发，很多数学教育工作者对着自己发问：我们的学生到底需要怎样的数学学习？他们的数学学习过程到底应该是怎样的？通过数学的学习，能够给他们在哪些方面得到别样的发展？回答或许会是模糊的，因为对于儿童我们还了解得不够，但是指向肯定是清晰的，因为我们对于数学教育的思考和实践已经逐步回归到对于儿童立场的关注之上。 为儿童的终生发展奠基，基于这样的目标，小学数学教学的实施路径也许会有很多条，每一条也许都会有其侧重和关注的地方。而数学建模教学也许就是其中宽敞的一条。对于数学建模，很多老师听说过，但是对于其对小学数学教学和儿童发展的意义还不是很清楚，也有很多老师会自然地提出疑问：小学数学能够实施数学建模教学吗？如果能，实施的方式和中学乃至大学的差别究竟在哪里？当我们理解了数学建模的内在意义和具体过程以及对儿童发展的价值之后，就会对这样的疑问报以肯定的回答。这一点从我们在2010年4月进行过“数学建模与儿童发展”专题研讨活动之后，老师们积极的态度中可以看出。而在研讨活动之后，我们约请了相关的专家、名师和青年教师撰文形成了本期专题，对于小学数学建模教学的可行性进行了初步的分析，对小学阶段实施建模教学进行了较为明晰的定位，也提出了相应的实践形式和方法。对于这样的话题，呈现的仅仅是个开始，更多地还需要老师们的积极研究和实践探索。 小学数学建模教学的探索 王尚志1 胡凤娟1 张丹2 由于像姜伯驹、李大潜院士等一批数学家自始至终的支持，还有像肖树铁、严士健、叶其孝、姜启源、刘来福、杨守廉、李尚志、乐经良等一大批数学家直接参与了“数学建模”实践和推广，“数学建模”的教学和实践活动在中国开展得非常顺利，经历近30年的探索，在研究生、大学、中学（特别是高中）阶段，“数学建模”在课程、教学、学习和实践活动等方面已经积累了一些很好的教材、经验和资源。非常可喜的是，现在有一批初中数学教师正在致力于探索如何将“数学建模”渗透到教学活动中，激发学生数学学习的兴趣，积累数学活动经验。2009年，在国家骨干教师培训过程中，庄惠芬老师告诉我们，她和她的团队正在致力于小学数学建模的研究，我们很高兴，这是件非常好的事情，也是很值得探索的方向。 在小学，开展数学建模教学活动是一个新的事物，为了使大家更好地这方面的探索，首先，本文提供数学建模的一些背景材料；其次，初步认识“什么是数学建模”；最后，在进行数学建模教学活动探索过程中，需要探索和研究的一些问题。 一、数学建模提出的背景 首先，我们要了解3个主要背景：综合实践活动、科学教育的“做中学”和数学建模的发展历程。这样有助于认清研究在小学阶段开展数学建模的价值和意义，同时有助于认清在小学阶段开展数学建模活动为我们带来的问题和挑战。 1．综合实践活动。 综合实践活动是现代教育中的个性内容、体验内容和反思内容，与传统教育片面追求教育个体的发展、共性和知识有所不同，综合实践活动提供了一个相对独立的学习生态化空间，学生是这个空间的主导者，学生具有整个活动绝对的支配权和主导权，能够以自我和团队为中心，推动活动的进行。在这个过程中，学生更谋求独立完成整个活动，而不是聆听教诲和听取指导。教师在综合实践活动这个生态化空间里，只是一个绝对的引导者、指导者和旁观者。 《基础教育课程改革纲要(试行)》在规定新课程的结构时, 进行了如下阐述：从小学至高中设置综合实践活动并作为必修课程，其内容主要包括：信息技术教育、研究性学习、社区服务与社会实践以及劳动与技术教育。强调学生通过实践，增强探究和创新意识，学习科学研究的方法，发展综合运用知识的能力。增进学校与社会的密切联系，培养学生的社会责任感。在课程的实施过程中，加强信息技术教育，培养学生利用信息技术的意识和能力。了解必要的通用技术和职业分工, 形成初步技术能力。 2．科学教育的“做中学”。 世纪之交，国际上一些有远见的科学家本着对未来的责任感，根据他们自身的科学实践经验，和教育界一起共同倡导了一项名为“Hands-on Inquiry Based Learning”的科学改革计划，旨在提高幼儿园和小学的科学教育水平，培育科学的思维方式和生活方式。 ?2001年，教育部和科学技术协会共同倡导和推动了这项有重大意义的科学教育改革在中国开展，取名“做中学” “Learning by Doing”，即在幼儿园和小学中进行的基于动手做的探究式学习和教育（Hands On Inquiry Based Learning and Teaching ），此举对促进我国幼儿园、小学科学教育发展，实现素质教育的目标有着重要的推动作用。 “做中学”科学教育中让儿童亲自参与对物体和自然现象的发现（自然科学），让他们通过观察与实验接触现实，以获得重要的科学概念和科学概念之间的联系：学会探究的技能;促进语言和表达能力的发展;保护孩子的好奇心和激发学习科学的主动性；激发想象力，扩展思维；改善合作和交往能力。 3．数学建模的发展历程。 数学建模课程在大学开设的历史并不长，20世纪70年代末80年代初，英国剑桥大学专门为研究 生开设了数学建模课程，并创设了牛津大学与工业 界研究合作的活动。与此同时，欧洲、美国等一些西方发达国家也开始把数学建模的内容正式列入研究生的课程中。近三十年来，数学建模教学在一些西方国家，诸如美国、英国、荷兰、丹麦、澳大利亚等国的数学教育界迅速普及，并在国际数学教育大会（ICME）中占有重要地位。1988年召开的第六界国际数学教育大会就把“问题解决、建模和应用”列入大会七个主要研究的课题之一。认为“问题解决、建模和应用必须成为从中学到高中到大学——所有学生的数学课程的一部分。” 20世纪80年代初，清华大学首先在应用数学系开设了数学模型课程，以后数学建模课程逐渐在普通院校理工科专业中得到普及。经过20多年的发展现在，绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径。数学建模在大部分高校已经成为数学专业的必修课，其他工科、金融、社会学科的选修课程。 我国中学的数学建模一开始是以数学知识应用竞赛的形式出现，而后在教育较为发达地区的中学展开教学实践，积累一定的实践经验后写入《普通高中数学课程标准（实验稿）》，成为中学数学课程的一部分。 实际上，无论是综合实践活动还是科学教育的“做中学”以及数学建模，在不同地区、不同学段、不同层面上展开了实验，取得了很好的经验，当然也还存在不少问题。但是，这些同时也说明，我们可以在小学数学中探索数学建模。 二、什么是数学建模 数学建模是建立数学模型并用它解决问题这一过程的简称。《普通高中数学课程标准（实验稿）》中认为，数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育的重要内容和基本内容.叶其孝在《数学建模教学活动与大学数学教育改革》一书中认为，数学建模就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些“规律”建立起变量、参数间的确定的数学问题(也可称为一个数学模型)，求解该数学问题，解释、验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程。 根据徐利治先生在《数学方法论选讲》一书中所谈到，所谓“数学模型”（Mathematic Model）是一个含义很广的概念，粗略地讲，数学模型是指参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表达出来的一个数学结构。广义地说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由之构成的算法系统都可以称为数学模型；狭义地解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。 这里，没有对和错之分，对于数学建模的认识都是描述性的，理解它的本质是关键。建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。 三、小学“数学建模”面临的挑战 在小学阶段，如何开展“数学建模”活动？我们面临很多挑战。根据我们在开展数学建模活动的一些经验和体会，提供几个需要关注、研究和探索的“问题”。 在开展数学建模教学活动中，确定问题是关键，问题的“来源”可以是多方面的，可以有老师或教材（其他的读物）给出的问题；也可以在确定的情境中，老师引导学生提出；也可以鼓励学生或学生小组在他们熟悉生活情境中发现和提出问题，培养学生的问题意识，发现、提出问题是创新（创造）的基础，这是数学建模需要特别关注的。好的数学建模问题离不开实际情境，离不开与数学的联系，有的问题与数学的联系直接一些，需要用到的数学多一些，当然，无论是情境也好，与数学的联系也好，不能脱离学生的实际和学生的认知。 在小学开展数学建模教学活动需要关注另一个问题，是模式行动研究。一种模式，如何把数学建模思想融入日常教学的某些内容；一种模式，运用数学建模思想，把课内外结合起来；还可以探索把数学建模与综合实践活动结合起来的模式，可以设计为几天完成的“小课题”。一个比较完整数学建模内容，应该有情境，有问题，有设计、建模（数学化）的过程，有结果，有交流展示，有反思。在教学实际中，也可以仅仅体现其中的一部分。我们期待小学老师创造出不同的适合小学生数学学习的数学建模教学模式。 在小学，还会遇到很多挑战性的问题，例如，数学建模课与其他形式课的比较；数学建模课教学的基本要求；教师的专业发展；也包括评价问题，对数学建模课的评价，对学生学习的评价，对数学建模评价是否可以进入纸笔评价，等等。这些问题和挑战，需要广大的数学教育工作者和小学数学教师共同来思和考研究。我们在本文后面提供一些参考文献，供大家参考。 （作者单位：1. 首都师范大学 2. 北京教育学院） 【参考文献】 [1]普通高中数学课程标准研制工作组.普通高中数学课程标准（实验稿）[M].人民教育出版社.2004 [2]严士健,张奠宙,王尚志.普通高中数学课程标准解读[M].江苏教育出版社.2004 [3]余文森. 为学生发挥自主性开辟空间[J]. 小学与教育研究. [4]韦钰.“做中学”科学教育项目简介[J]. http://{域名已经过期}/weiyu/archive/2005-002?p=2 [5] 范良火.数学算术[M].北京：人民教育出版社. I 994.1 8 [6] 王尚志．“探索一条数学教育致革之路”[J].中学生数学.1998.07 [7] 王尚志．研究性学习课挑战教师[J].北京教育.2002.03 [8] 霍益萍,张人红. 研究性学习的特点[J]. 课程· 教材· 教法.2000.11 合理把握小学数学建模的定位 庄惠芬 在我国，数学建模及教学研究在大学开展得较多，在中学中开展数学建模还处于探索阶段。在小学阶段来研究数学建模是否可行？小学阶段的数学建模教学与中学、大学的数学建模有什么不同？基于建模思想的小学数学教学与日常的小学数学教学又有何不同？ 我想数学建模的本质，在于它更突出地表现了原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程；数学工具、方法和模型的选择、分析过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程，它更完整地表现了学数学和用数学的关系。这样的一个过程给学生再现了一种“微型的科研过程”，不仅促进了孩子数学眼光、数学意识和数学素养的提升，关键还促进了一种数学品质的提升。所以无论站在大学的视野、还是中学的视野、小学的视野，这样的价值这对学生当下以及今后的学习和工作无疑会有着很好的影响。小学数学教学中研究数学建模还是很有价值的，关键是如何把握内涵、如何展开过程、如何确立定位？我想不妨从数学建模的对象、目标、途径等几个方面做一个阐述。 一、对象的儿童性 小学数学建模的主体是学生，其特点是运用的知识为儿童数学，因此在小学中开展数学建模，提供问题要注意掌握复杂性的适度，从儿童的“最近发展区”出发。以“跳一跳，够得着”为原则，抵达儿童的“最优发展区”，既有难度和深度，又有温度和适度，需要学生深入思考，认真探索，又要使学生经过探索，运用所学知识可以解决的。 1.基于儿童的生活经验。数学建模要为学生提供一个完整、真实的问题背景，要将现实生活中发生的与数学学习有关的素材及时引入课堂，教材中的内容可结合社会生活实际、热点问题、自然社会、科技等与数学问题有关的各种因素，要将教材上的内容转化为儿童日常生活数学问题的火热思考，以此为支撑物启动教学，使学生产生学习的需要；从身边具体的情境中提出问题，让学生认识到问题的价值性。抓住问题的锚桩，激发学生的探索兴趣，激活儿童头脑中已有的生活经验，使学生用积累的经验来感受其中隐含的数学问题，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。 2.基于儿童的认知水平。小学数学建模，要因材施教，循序渐进。一要适合学生的年龄特征，要有挑战性，以激发学生学习数学的兴趣；二要适合儿童的认知水平，问题的难易要有适切性；三要适合儿童发展的差异性，尊重儿童的个性，促进每一个学生的原有的基础上得到发展；结合学生的实际水平、分层次逐步推进。注意把握数学建模中儿童的认知起点、情感起点和思维起点，有利于儿童的主动参与，调动学生主动思考的积极性，培养学生进取精神和创造意识。 3.基于儿童的思维方式。在小学数学教学活动中，教师应采取有效措施，加强数学建模思想的渗透，提高学生的学习兴趣，培养学生用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。如大家熟悉的苏教版小学数学“平均数的认识”这一抽象的知识隐藏在具体的问题情境中，学生在两次评判中解读、整理数据，产生思维冲突，从而推进数学思考的有序进行。学生从具体的问题情境中抽出平均数这一数的学问题的过程就是一次建模的过程。小学数学教学中，应渗透适合儿童水平的数学建模过程与方法，并通过系统体验和学习，形成一个良好的认知结构。 二、目标的指向性 与中学、高中相比，在小学阶段，我们的“数学建模”教学不是要培养拔尖的数学家和数学工作者，培养的数学建模竞赛的尖子生、不是为了仅仅与初高中衔接进行纯粹的数学建模方法的训练。而更重要的是目标指向儿童数学能力、数学思维等数学素养的提升。让儿童在生活中能自觉、主动、迫切地运用数学建模思想，提出问题、分析问题、解决问题，让我们把“数学建模”的教学作为突破口，让儿童培育建模意识，体验建模过程、形成建模思想。 1.培育建模意识。在数学教学中通过引入贴近现实生活、生产和其他学科为实际背景的探索性例题，使学生明确了数学是怎样应用于解决这些实际问题上去的，并能利用有关方法进行数学建模，从而解决这些实际问题的，从而体现数学的实际应用价值和数学的社会功能。主要是提高学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，体会到数学的价值，享受到数学学习的乐趣，增强学好数学建模的信心。要站在提高学生素质的高度，把渗透数学建模的意识作为首要任务，并注重培养学生的阅读理解能力和数学语言的转换能力。 2.体验建模过程。数学建模就是要把现实生活中具体实体内所包含的数学知识、数学规律抽象出来，构成数学模型，根据数学规律进行推理求解，得出数学上的结论，返回解释验证，以求得实际问题的合理解决。我认为小学阶段的数学建模主要让学生重在体验建模的过程，通过一定的实际情境，让学生在形成一些简单数学模型的过程中，感受数学的形成，并能以此模型进行一些简单的解读与应用。个人觉得这个探究的过程的是最重要的。将培养应用数学的意识贯彻在“从实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，构建数学模型，解决数学问题，从而解决实际问题”的全过程之中。 3.形成建模思想。让学生运用所学知识，观察、分析、测量、讨论、建模、解决实际问题，使学生能够透过纷繁复杂的现象抽象、概括其本质，尝试将具体问题转化为数学模型，建立了一个问题解决的数学模型，通过对实际问题的信息进行分析处理，提出必要的假设，并进行数学的抽象与概括，从而建立起某种特定的数量关系，利用相关的知识使问题得到解决，形成数学建模思想。通过数学建模能使学生真正体会到数学的应用价值，培养学生的数学应用意识，增强数学的学习兴趣，使学生真正了解数学知识的发生过程，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创造能力。 数学模型的建立不是最终目的，而让学生形成一种模型意识，建立思维方法，反过来再去解决问题，让学生理解并形成数学的思维、促进数学的理解、促进自我的数学建构，这种数学化的思想才是根本的目的。 三、途径的渗透性 数学建模是把现实问题抽象成数学问题，使复杂问题简洁化的一种数学素养。在小学数学教学中要重视数学建模的教学，在日常的教学中，我们要有意识地创设问题情景，渗透建模思想，还要在实践、探索、运用中形成建模能力，使学生所学知识更系统、更完整，从而应用数学模型解决实际中的复杂问题。我们还可以通过小课题学习和活动，让学生加深理解建模的过程和重要性，使他们学会学习，创造性学习。 1.教材中选取。首先可从建模的角度解读教材。不同版本的数学教材中的大部分内容已经按照建模的思路编排，“生活情境——抽象模型 ——模型验证——模型解释与应用。”教师要多从建模的角度解读教材，充分挖掘教材中蕴含的建模思想，精心设计和选择列入教学内容的现实问题情境，将实际问题数学化，建立模型，从而解决问题。其次，要梳理出适合用建模思想来展开教学的内容。用建模的思想解读教材，并不意味着所有的内容都适合数学建模，小学数学建模的研究中，要系统梳理教材中哪些内容适合数学建模？可以怎样数学建模？运用数学建模思想如何展开教学？ 2．课题中延伸。我觉得基于建模的课堂教学更应体现出探究性，发展性，与情境性，重在学生建模能力的发展，思想的熏陶，思维的激发。学科综合实践活动课程设置是课改的一个亮点，借以打通学科界限，促进相互的整合及融通。如六数教材安排的探索与实践主要有： 动手操作——画指定面积和高的三角形、选择小棒做长方体或正方体框架（选料单填写）、长方形纸不同方法卷圆柱体（计算、比较、发现和思考）； 调查分析——调查一些家电包装箱尺寸并计算表面积和体积、寻找生活中百分数的应用、测圆柱形饮料罐容积并与标示比较； 拓展应用——了解计算器的使用、根据公式计算家庭恩格尔系数、根据公式计算家庭成员的标准体重； 数学发现——找规律等。画三角形，两条平行线之间距离为高，可以画出无数个形状各异符合要求的三角形，让学生在画后比较中发现其开放的价值，使所学知识能够灵活应用。长方形纸卷成圆柱体，就是玩，但要在玩中明白两种卷法的同与不同，并迁移到生活中，同样的材料围粮囤如何围容积大？ 结合教材中的某些内容，和相关内容进行整合，提出建模的问题，拓宽学生的数学知识，训练学生思维的灵活性和综合运用数学知识解决实际问题的能力。也可以配合教材，制作教、学具或进行实际操作测量活动。如六年级学生利用比例的知识，组织学生在活动课上测量学校旗杆的高度、了解古埃及金字塔的测量；利用求长方体的知识，组织学生在设计制作洗衣机保护套等等。 3.实践中拓展。不同版本的教材中除了增设了“实践与综合运用”的内容，还增设了“你知道吗？”可以利用实践活动课，进行建模指导。 结合教材内容，整合各知识点，使之融进生活背景，产生好的“建模问题”作为实践活动课的内容。如教材中安排了“奇妙的图形密铺”这一内容，可以拓展为家庭房间装修提供出合理美观的密铺方案。这样的建模拓展激发学生的学习兴趣，体现认识规律；展示探究过程（理性地再现知识生成过程，通过循序渐进的思维阶梯使知识、情感、意志相互结合，帮助学生形成自学能力）；实施活动方法（使经验、思维、方法融为一体，让学生获取终身受益的精神文化力量和实践能力）；内化教学功能，要学会把复杂问题纳入已有模式之中，使原有模型成为构建和解决新问题的工具。 在小学数学教学中要重视数学建模的教学，在日常的教学中，我们要有意识地创设问题情景，渗透建模思想，还要在实践、探索、运用中形成建模能力，使学生所学知识更系统、更完整，从而应用数学模型解决实际中的复杂问题。我们还可以通过小课题学习和活动，让学生加深理解建模的过程和重要性，使他们学会学习，创造性学习。 （作者单位：江苏省常州市武进区湖塘桥中心小学） 磨·模·魔 ——小学数学建模教学的程序思考 许卫兵 数学在本质上就是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学习只有深入到“模型”、“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。这种“深入”，就小学数学教学而言，更多地是指用数学建模的思想和精神来指导着数学教学，不断让学生经历从具体事例或现实原型出发逐步抽象、概括建立起某种模型并进行解释和运用，从而加深对数学的理解和感受，提升数学学习能力。 用数学建模的思想来指导着数学教学，不同的年级、内容、学习对象应该体现出一定的差异，但也存在着很大的关联性。就教学实施的一般程序来看，可以归结到三个字：“磨”、“模”、“魔”。 一、“磨” 所谓“磨”，即“琢磨”。也就是教师首先要反复琢磨每一具体的教学内容中隐藏着怎样的“模”？需要帮助学生建立怎样的“模”？如何来建“模”？在多大的程度上来建“模”？所建的“模”和建模的过程对于儿童的数学学习具有怎样的影响？……在基于建模思想的数学教学中，这些问题都是一些本原性的问题。一个老师如果从来不曾在这些方面作过思考的话，可以肯定，他的数学课堂上数学知识概念、命题、问题和方法等很难见到“数学模型”的影子，他的学生也可能从未感受过“数学模型”的力量。 众所周知，“鸡兔同笼”问题的数学模型是二元一次整数方程，然而，在小学里学生并不学习二元一次整数方程。可是，“鸡兔同笼”却被广泛地运用到小学教材中：北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；而人教版则是浓墨重彩，在六年级上册“数学广角”中详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。教学这些内容时，如果仅是就题讲题，就课本讲课本，难免显得过于简单和浅薄。那么，对小学生的数学学习而言，“鸡兔同笼”是否还隐藏着其他的“模型”因素呢？我想至少有三方面是值得关注的：一是内容层面的，即“鸡兔同笼”这类题本身的题型结构特征（告知两个未知量的和以及两个未知量之间一定的量值关系，求未知量）；二是方法层面的，即“假设法”的一般解题思路（画图、列举、替换等在某种意义上都是“假设”）；三是思想层面的，即从一个具体的“鸡兔同笼”数学问题出发，在经历了对其解答的过程之后，能将解决它的方法和思路进行扩展运用（学习“鸡兔同笼”，最终的目标并不仅仅是会解答一道“鸡兔同笼”，更有其他）。有了这样的理解，在教学中，我们就会引导学生在关注教材中所编排内容的同时，注意把握题目的类型、结构和类比运用，用系统的眼光来看待它的教学价值。这些，恰恰是学生到了中学后真正建立二元一次整数方程数学模型的基础。 眼界决定境界。一个老师是否具有“模型”眼光和“模型”意识，往往会决定着他的教学深刻性和数学课堂的品质。 二、“模” 所谓“模”，即“建模”。也就是在教学中要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和运用。对小学数学而言，“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。 【教学片段】减法 出示情境图。 师：请同学们认真观察这两幅图，说一说从图上你看到了什么？ 生：有5个小朋友在浇花，走了2个，剩下3个。 师：你真棒!谁再来说一说。 生：原来有5个小朋友在浇花，走了2个小朋友，还剩下3个小朋友。 师：很好！你知道怎样列式吗？ 生：5-2=3。 教师听了满意地点点头，板书5-2=3。 接着教学减号及其读法。 【教学片段2】 出示情境图。（同上） 师：谁来说一说第一幅图，你看到了什么？ 生：从图中我看到了有5个小朋友在浇花。 师：第二幅图呢？ 生：第二幅图中有2个小朋友去提水了，剩下3个小朋友。 师：你能把两幅图的意思连起来说吗？ 生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个。 师：同学们观察得很仔细，也说得很好。你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？ 生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩几个？ 生（齐）：3个。 师：对，大家能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？ （教师在行间指导学生摆圆片，并请一生将圆片摆在情境图的下面。） 师：（结合情境图和圆片说明）5个小朋友在浇花，走了2个，还剩3个；从5个圆片中拿走2个，还剩3个，都可以用同一个算式（学生齐接话：5-2=3）来表示。（在圆片下板书：5-2=3） 生齐读：5减2等于3。 师：谁来说一说这里的5表示什么？2、3又表示什么呢？ …… 师：同学们说得真好！在生活中存在着许许多多这样的数学问题，5-2=3还可以表示什么呢？请同桌互相说一说。 生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，还剩3瓶。 生2：树上有5只小鸟，飞走2只，还剩3只。 …… 上述教学片段，摆脱了“就事论事”式的简单教学，除了教学充分展开外，更主要的是渗透了初步的数学建模思想，训练的是学生抽象、概括、举一反三的学习能力。且这种训练并不是简单、生硬地进行，而是和低年级学生数学学习的特点相贴切——由具体、形象的实例开始，借助于操作予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以扩展和推广，赋予“5-2=3”以更多的“模型”意义。 运用建模思想来指导小学数学教学，在很大程度上是要在学生的认知过程中建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的“模型”载体，通过这样的具有“模型”功能的载体，帮助学生实现数学抽象，为后续学习提供强有力的基础支持。当然，对学生“模型”意识的培养和“建模”方法的指导，要根据具体内容和具体年级而有层次不同的要求，低年级要恰到好处地结合日常实例和常规教学对学生进行“模型”及“模型意识”的渗透、点化，高年级则可以更明确地引导学生关注数学学习中“模型”的存在，培养初步的建模能力。 三、“魔” 所谓“魔”，即“着魔”，也就是学生对“模型”在数学学习中的运用有着深切的体验和感悟，并对之产生好奇，从而在数学学习中能主动地构想模型、建立模型、运用模型。儿童数学教学的终极目标，应该是让学生都懂数学、爱数学，对数学怀有敬畏之心和热爱之情。要实现这样的目标，数学教学就不能只停留在知识和方法层面，而是要深入到数学的“腹地”，用数学自身的魅力来吸引学生。正如日本数学家米山国藏所说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益”。[] 要让学生能充分感受到数学模型和建模教学所产生的“魔力”，实际教学中，一方面要结合日常教学给学生以充分的体验和感受。比如，在二年级教学“确定位置”时，设定观察的规则（观察顺序）非常重要——“从左向右数是第几排”、“从前往后数是第几列”、“从下往上数是第几层”……如果我们结合这样的观察顺序在直观图上分别添加“横向带箭头的直线→”（坐标系中的“横轴”原型）和“纵向带箭头的直线↑”（坐标系中的“纵轴”原型），既将观察顺序形象表达，又蕴含了二维坐标（第一象限）的基本原理。如果学生在独立练习中也能模仿着使用，那感受会更加深刻。而在六年级学习“确定位置”（用方向、角度、距离来确定平面图中任意一个位置）时，如果让学生试着总是以观测点为中心先画出一个“十字”坐标图然后再确定位置，那学生的观察不仅变得有序，而且准确性很高。在此基础上，老师再对学生进行“建模”、“用模”的学习水平进行适当评价和鼓励，教学的境界就会大大提升。另一方面，也可以在中高年级进行一些专题性的训练。 这样的训练所产生的体验，将会使学生充分感受到数学建模的“魔力”，并将深刻而持久地影响着他们的数学学习和生活。 这是数学教学的崇高境界。 （作者单位：江苏省海安县实验小学） 数学建模：是一种方法，更是一种意识 ——基于建模思想的小学数学教学举隅 储冬生 数学模型一般地说，是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的数学结构（张奠宙语），一般可分为三类：概念型数学模型、方法型数学模型、结构型数学模型（顾泠沅语）。谈起数学建模，有不少一线老师都觉得很不自信，这好像只是高校专家们的语汇，距离我们的教学实践似乎挺遥远的，小学老师似乎还没有提建模的“功力”。我倒觉得数学建模其实离我们的实践并不遥远，因为数学本就是模式的科学。《译林》杂志曾刊载过这样一则笑话： 父：如果你有一个桔子，我再给你两个，那你数数看一共有几个桔子？ 子：我不知道，因为在学校里，我们是用苹果数的。 这只是一则笑话而已，在我们的现实生活中应该不会存在，老师在教学生时，一定是这样教的：1个桔子+2个桔子=3个桔子，1个苹果+2个苹果=3个苹果，1个人+2个人=3个人，1颗树+2颗树=3颗树，…，直至抽象出1+2=3。数学抽象本就是一种概括，一种建模的过程，即是集中地表明了一类事物或现象在数量等方面的共同特性。据此，1+2=3，也是一个模式的、模型的存在。从这个意义上看，我们的每堂数学课可能都是在建立数学模型。概念教学、计算教学、解决问题构成了小学数学教学的主体部分，下面我结合自身的实践就以上三个方面各截取一个片段，谈谈我对基于建模思想的数学教学的理解与探索。 概念型数学模型：建模与生活原型 “认识方程”教学片段： 师：老师带来一个谜语，请同学们猜猜看。 课件呈现：一个瘦高个，肩上挑副担，如果担不平，头偏心不甘。 生：天平。 课件呈现： 天平由平衡（空天平）——不平衡（一端有物品）——平衡（两端都有物品）。 生：指针指在刻度的中间，天平是平衡的。 师：天平平衡又说明什么？ 生：说明天平两边的物品质量相等。 师：相等用什么数学符号表示？ 生：用等于号。 师：小明在天平的两边放上砝码，你能用式子表示左右两边的质量关系吗？（天平的左边放两个50克的砝码，右边放一个100克的砝码。） （50＋50＝100，50×2＝100） 师：像这样左右两边相等的式子，我们把它叫做等式。 师：如果从天平的左边拿走一个砝码，这时候还能用等式表示两边的质量关系吗？ 生：天平不平衡，不能用等式表示，可以表示为50＜100，或者100＞50。 师：为了让天平达到平衡，小宇准备在天平的左边放这样一个物体，这个物体的质量不知道怎么办呢？ （出示一个物体） 生：咱们就用x来表示。 师：以前学的用字母表示数，这里就能应用了！这里的x代表的数咱们事先不知道，这样的数我们就把它叫做未知数。 师：如果把这个物体放下来，猜一猜，天平两边物体的质量关系又会是怎样的呢？把你的猜测用式子表示出来。 （X +50＜100，X +50＞100，X +50＝100） 师：请看大屏幕，现在你也能用式子表示天平两边物体的质量关系吗？ （左边放两个一样的砝码，右边放一个200克的砝码天平平衡。） 生：2X＝200。 （学生交流的过程中，老师在黑板上呈现相应的算式： 50＋50=100、50×2=100、50﹤100、100﹥50? X+50＞100、X+50＜100、X+50＝100、2X＝200 ） 师：你能将这些式子分分类吗？ （学生活动，汇报交流。） 师：实际上就是这样的四类：①没有未知数也不是等式；②有未知数但不是等式；③没有未知数但是等式；④含有未知数而且是等式。像50＜100、100＞50 和50+50=100、50×2=100这两类式子大家都比较熟悉，而X +50>100、X+50﹤100这类式子比较复杂，我们到中学会更深入地了解它。像X+50=100、2X=200这样含有未知数的等式就是我们今天要重点研究的方程。 随感： 在这个片段的教学中我借助天平帮助学生体悟等式和方程的含义，为抽象的方程找到了直观的生活原型：天平。天平两边平衡，表示两边的物体质量相等；两边不平衡，表示两边物体的质量不相等，让学生在天平平衡的已有经验中体悟等式的含义，既突出了教学的重点，又克服了学生已有的“算术思想”对方程概念的建立所带来的干扰。引导学生将旧知进行迁移和提升，很自然地解决了“代数思想”的第一个关键问题——用字母代替不知道的量（未知数），帮助学生积累了鲜活的方程的表象。方程其实就是一种模型，是一种概念型数学模型，很多这样的模型都是基于现实的生活情境作出适度抽象后的产物，在小学许多数学教学内容本身就是一种模型：分数是平均分派物品的数学模型；小数的生活原型就可以看作是元、角、分；自然数是表述有限集合“数数”过程的数学模型；400人的工厂里一定有两个人同一天过生日，其数学模型就叫抽屉原理。 方法型数学模型：建模与符号化思想 “简单的分数加减法”教学片段： 师：咱们今天要研究的都是同分母的分数加减法。你们会计算这样的同分母分数加法吗？接下来咱们再来一组抢答题：看谁算得又对又快！ 课件逐个呈现： 1/△+3/△ ○/5+□/5 ○/△+□/△ （直至，学生都能够很快地说出答案，而且情绪非常高涨。） 师：数据这么大，也能算得又对又快，你们一定有自己的“绝招”。 生：分母不动，分子相加作分子就行了！ 师：继续抢答：1/△+3/△ 生：4/△。 师：你们还会吗？ 生：○/5+□/5=（○+□）/5 生：○/△+□/△=（○+□）/△ 师：其实这不就是用符号把大家刚才发明的“绝招”给表示出来了吗？ ○/△+□/△=（○+□）/△ 师：看着大家发明的这个绝招，老师真的很佩服大家。可是我还有个疑问：为什么“分母就不要变，分子却必须相加”呢？有同学已经明白了，更多的同学还在思考。咱们带着这个问题再看一组练习，边练边想。第一题：。 生：。 师：能说说你是怎么想的吗？ 学生阐述，课件同时呈现：2个加上3个等于5个。 师：第二题：。 生：。 课件同时呈现：2个（ ）加上3个（ ）等于5个（ ），学生填空。 师：几个加上几个还表示几个，所以分母还是9呀！ 师：第三题： 课件呈现：2个（）加上3个（）等于5个（），学生填空。 生：是2个加上3个所以等于5个，分子必须得加起来。 师：这些分数加法其实都是在计算2个几分之一加上3个几分之一等于5个几分之一。学习就得学会联系，如果我们联系过去学过的整数加法来想20+30=50，不也是在计算2个加3个吗？ 课件呈现：2个（10）加上3个（10）等于5个（10），学生填空。 师：2+3=5，不就是2个1加上3个1等于5个1吗？ 课件呈现：2个（1）加上3个（1）等于5个（1），学生填空。 师：由此可见咱们的分数加法和整数加法，其实都是在计算几个加上几个等于几个，只是咱们过去学的加法是几个一加几个一，几个十加几个十，而今天学的是几个几分之一加几个几分之一罢了。 随感： 归纳同分母分数加法的共同特点，诱导学生用数据较大的同分母分数加法题进行快速抢答，其间由分母而至分数渐次抽象，用符号表达数量关系，演绎同分母分数加法的算法模型，促使学生生成和体悟“分母不变，分子相加”的算法“绝招”。这里的计算法则其实就可以看作是一种算法模型，借助符号化的方法将模型进行抽象的建构。悟出算法后，教学并不能满足于“知其然”，继续带领学生由算法而探究算理，追究其中的“所以然”。把分数单位与整数中的“一”、“十”的计数单位建立起有机的联系，让学生悟出同分母加法的法则，实质上就像“几个十”加“几个十”，“几个一”加“几个一”一样，也是“几个几分之一”加“几个几分之一”，从而一步步地跃升思考的跨度。算法作为一种方法型数学模型不能仅仅满足于形式化地将它揭示出来，更要知晓其背后的原理，这也许就是大家常说的算法与算理的统一吧。 结构型数学模型：建模与变式理论 “鸡兔同笼问题”教学片段： 师：日本人对鸡兔同笼问题也有研究，日本人又称它叫“龟鹤问题”。日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？ 生：是一样的意思：龟就相当于兔，都是四只脚；鹤就相当于鸡，都是两只脚。 师：假如我们不叫它鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，是不是还可以给它取个其他的名字呢？ （鸭猫问题、猪鹅问题……） 师：看来鸡兔同笼问题中的鸡不仅仅代表鸡，兔也不仅仅是指兔！这儿还有一首民谣，我们一起来读一读： （课件出示： 一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二。 ） 师：读了这则民谣，你有没有什么话想说? 生：我觉得这还是鸡兔同笼问题。这里的猎人有两只脚其实就是鸡，而狗就是兔。 （课件出示：猎人——鸡 两条腿 狗——兔 四条腿 ） 师：你能算出猎人和狗各有多少吗？用你喜欢的方法自己去试一试。 （学生练习，老师巡视指导） 师：看来鸡兔同笼不仅仅可以解决“鸡兔”同笼的问题，换成乌龟和仙鹤，换成人和狗，仍然是鸡兔同笼问题，“鸡”“兔”同笼其实只是这类问题的一个模型！ 师：以前我们就接触过鸡兔同笼问题，今天又进一步研究了这类问题，可现在老师突然想到一个问题：生活中谁会将鸡和兔放在一个笼子里？即使放在一个笼子里又有谁会去数他们的脚呢?直接数头不就行了？生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？ （学生感觉有些困惑。） 师：接下来咱们再做一个“猜一猜”的游戏，大家可以边猜边想。老师这儿有一个信封，这信封里放了7张纸币，有5元的和2元的，共29元，你们能猜出信封里放了几张2元纸币，几张5元纸币吗？ 生：假设全是2元的就是14元，而现在有29元，还多15元，我们就把2元的换成5元的，每换一张就多3元，这样就要换5张5元的，还剩2张2元的。 师：是这个意思吗？ （课件动态演示：换纸币的过程） 师：这个游戏和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗？ 生：其实这也是鸡兔同笼问题，这里的2元纸币就相当于鸡有两只脚，而5元纸币就相当于兔，也就是五只脚的“怪兔”！ 师：（故作神秘状）是这个意思？ （课件动态演示：将二元纸币换成鸡，将五元纸币换成五只脚的“怪兔”） （大家一看“怪兔”的模样，都乐了） 师：看来我们的鸡兔同笼问题不仅包括4只脚的兔子，还可以是5只脚的怪兔，又进一步逼近了问题的本质！ 随感： 通过“鸡兔”、“龟鹤”、“人狗”等不同变式的呈现，使学生初步感知鸡兔同笼问题只是一个 “模型”，虽然问题的情境在变化，但问题的本质----数量之间的结构关系是不变的。学生在解决这些问题的过程中逐渐形成鸡兔同笼问题的“数学形式”及其解题策略体系，初步建构关于鸡兔同笼问题的数学模型。“猜一猜”的游戏以及课件中“怪兔”夸张变形的演示，用“数形结合”的策略把鸡兔同笼问题作进一步的概括、抽象、提炼。指导学生建构数学模型的过程是循序渐进的：由“鸡兔”到“龟鹤”再到“人狗”，这一演变的过程只是换了个“包装”，是对问题原型表象的概括；由“四脚兔”变为“五脚兔”，则是对问题本质的类推与抽象。引导学生进行联系、对比、分析，学生的思维在不断的内省、自悟中得到提升，自主建构鸡兔同笼问题的模型也便水到渠成了。鸡兔同笼可以看作是这一类问题的结构型模型，模型只有与变式相伴才显活力和魅力，也才能彰显其意义。 《数学课程标准》强调：从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。在小学阶段渗透数学建模思想已显得越来越重要。数学模型是对现实世界的某一特定研究对象，在作了必要的简化和假设之后，运用适当的数学工具，并通过数学语言提炼、表达出来的一个数学结构，如数学公式、数学概念、解题方法及某类知识的特征等。有了建模意识可以让我们对数学问题的把握更贴近本原，目光更长远，人们在批评数学教育时总喜欢用上这个工程问题的例子： 有一水池，打开进水管注满全池要3小时，打开出水管放完整池水要2小时，现在两管齐开，要多长时间才能把一池水放完？ 有人质疑：日常生活中，有谁会同时打开进水管和出水管呢？于是，它便成了被批判的对象。其实用一种模型的观念来审视：草场上草的生长和割去、家庭的收入和支出、人体的新陈代谢等等不就和水池的进水出水是同一个模型吗？如果你把它题当作一个反映动态平衡问题的模型，也许它就具有价值了。之所以有人自以为高明的批评它，那时因为他们还缺乏一种建模的眼界，情境、素材只是表面的，模型才是最为根本的。数学建模，是一种方法，是一种思想，更是一种观念，一种意识。 （作者单位：江苏省海安县实验小学） 从意义建模到能力生成 ——以“平均数”教学为例 于荣华 数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。引导学生建构数学模型的过程，就是数学化的过程，也是思维训练的过程，这将有助于提高他们发现数学、“创造”数学、运用数学的能力和数学素养。作为小学来讲，数学建模是遥不可及，还是揠苗助长；是无意插花，还是有意栽树；我们需要从数学学科的价值和本质入手，进行深度的思考和剖析。 在数学教学中，我们应该让建模成为构通数学与生活应用之间的桥梁。学生通过熟悉的现实生活，自己逐步抽象出数学模型，从中学生能体会到从实际情景中发展数学是获得再创造数学的绝好机会，在建立模型形成新的数学知识的过程中，学生能更好体会到数学与大自然和社会的天然联系。只有这样，数学教学中的“建模”才有了相应的环境与氛围。 下面我们以“平均数”为例进行建模教学的实践： 1．原型唤醒，提供贴近生活的背景。 要建模首先必须对实际原形有充分的了解，明确原型的特征，只有做到这一点，才能使建模者对实际问题进行简化。由于小学生的生活经历有限，对一些实际问题的了解比较含糊，这不利于学生对实际问题的简化和抽象，所以条件许可的话可以组织学生参与一些相关的社会调查和实践活动，让学生亲身体验生活，亲自经历事情的发生和发展过程，让学生主动获取相关的信息和数学材料，从而培养学生对事物的观察和分辨能力，增强学生的数学意识。为此，我们认为教师在提供问题的背景时，首先必须考虑这些背景材料学生是否熟悉，学生是否对这些背景材料感兴趣。我们可以创造性地使用教材，根据目前教材所提供的教学内容，结合学生的生活实际，把学生所熟悉的或了解的一些生活实例作为应用题教学的问题背景，这样可以克服教材的不足，使学生对问题背景有一个详实的了解，这不但有利于学生对实际问题的简化，而且能提高学生的数学应用意识。 【片段一】 金坛市实验小学建造新校园，甲乙两个学生小队参加义务劳动，并进行1分钟搬砖比赛： 1．看到这些数据，你获得了哪些信息？ 2．哪队搬砖快？你评判的标准是什么？（甲队一共15块，乙队一共12块，甲队搬砖的总数多，就说明甲队胜利，我们对甲队表示祝贺。） 3．这时小风加入乙队，1分钟搬砖4块，现在乙队一共搬砖16块，裁判判定乙队为获胜队，并向乙队表示祝贺。 4．（有些学生举手表示反对）你们有什么想法？假如你是甲队的队员，你有意见吗？为什么？ 5．“哎呀，看来人数不相等，用比总数的办法决定胜负不公平。” 6．在人数不相等的情况下，难道就没有更好的办法来比较搬砖的快慢？ 7．用平均数能比较出。什么是平均数呢？（生结合自己的知识经验和生活经验说理解。） 8．你认为这两种评判标准在适用范围上有什么不同？ 【解读】本课所设计的“问题情景”是生活中比赛场景和平均数意义的自然融合，这个比赛场景隐含着平均数意义的本质，具备情景的开放性和模糊性两个特点，学生在自由地解读中整理两组数据，而情景的呈现和解读并不是一步到位的，情景分两次呈现，从而激起学生思维冲突，思考更好的评判标准，从而有序地推进数学问题的深入。这样，从一个生活比赛场景中抽取出平均数意义的过程，反映出从一个生活问题（哪队搬得快）到数学问题（什么是平均数）的抽取过程，是学生一次建模的过程，也是学生对平均数意义初步感知的过程。 2．意义赋予，实现问题简化的过程。 儿童有无限的创造力，虽然他们所掌握的数学知识是有限的，但他们的想象力是无限的，他们敢想敢做善于异想天开，这对简化实际问题，构建数学模型是十分有利的。因此，在数学建模过程中教师要善于调动学生主动建模的积极性，千万不能对学生的不合理的归纳或不恰当的抽象，以及不合常情的假设加以批评和指责，恰恰相反要抓住他们闪光的地方加以表扬、鼓励，并通过适度的引导和点拨使学生对实际问题的简化更加恰当。这需要教师进行有机地进行引导，没有相应地进行指导与引导，那么情境活动则会变为支离破碎的学生经验，反而在学生的学习中起到消极的作用。因为并非学生所有的经验都有同等的教育价值，有些经验不在弄清它们之间相互联系的基础上组织起来，它们在教学方面就要起消极作用。 【片段二】 1．怎么求出两队的平均数？四人小组讨论，推选一位介绍学习成果。 2．反馈：哪个小组来汇报一下？ ①估算：我们组估计一下，如果要使他们同样多，甲队大概在5块左右，乙队大概在4块左右…… 平均数的范围：最小数＜平均数＜最大数 ②移多补少方法：对估算方法的验证延伸出来。电脑呈现：我们一起来估算一下，（把一根水平线移到7的位置），平均数会是7吗？为什么？…… ③计算。甲队：（7+6+5）÷3=5（块） 乙队（2+7+3+4）÷4=4（块） 1）你是怎么想的？5代表什么？4代表什么？ 2）和小李的5一样吗？和小风的4块一样吗？（这种数字相同纯属巧合） 3）平均数跟以前学过的每份数一样吗？（实质不同：呈现每份数的条形图和平均数的条形作对比。） 4）总数量÷总份数=平均数 【解读】平均数的意义是代表一组数据整体的一般情况，它并不代表具体的数。这种意义只能是让学生在协作探索中意会而不能言传，通过协作学习和教师有力度问题的追问，有机地呈现出估算、移多补少、计算等三种相互联系的方法，在对比中达到清晰概念、深刻理解概念的目的，也为学生合理建模奠定坚实的基础。 3．经历创造，构建合理的数学模型。 学生掌握了某项数学知识后，可以有意识地创设一些把所学知识运用到生活实际的环境，来帮助学生把数学模型建立地更好、更深。通过这些把数学知识与生活实际相联系的活动，即能有效的巩固所学知识，又培养了学生的思维能力和实践能力，让数学回到了现实生活中，同时，学生建立的这些数学模型更加深入、明确。 【片段三】 1．小结：当人数不相等时，比总数不公平，是谁出现在我们的课堂里？此时此刻，你不想对平均数发自内心的说两句吗？ 2．沟通平均数与生活的联系：你在生活中见过哪些平均数？ 出示：实验小学老校区人均占地面积是4平方米，新校区人均占地面积是15平方米。 【解读】将平均数概念和学生身边符与具体含义的平均数相链接，学生试图用平构数概念去解释其具体的含义时，这就是数学概念与生活表征两者在学生心中融合的过程，是学生深刻地理解过程，是物理模型到化学模型的转变过程。 4．协作会话，评价应用数学模型。 数学模型来自生活实际，数学建模的目的是解决实际问题。因此，每个数学模型都应有其本身的应用价值，如果一个数学模型只能解决当前的一个实际问题，那么这样的数学模型就失去了应用价值，同时也就失了去数学建模的意义。当学生数学建模完成后，要让学生展示自己的建模思维过程，充分暴露学生的思维过程。同时也要鼓励学生对别人的数学模型进行评价，在展示、评价中比较每个数学模型的优点和缺点。 【片段四】 小王前去应聘，1个月后却只得到500元……小王和老板打官司，谁会赢？ 【解读】数模在生活中能得到灵活的应用，才是达到深刻理解和把握数学模型的目的，而此题招工广告是为培养学生灵活应用数模、解决实际问题的一个好素材。 通过以上平均数的教学例子我们可以发现，通过数学建模能使学生真正体会到数学的应用价值，培养学生的数学应用意识，增强数学的学习兴趣，使学生真正了解数学知识的发生过程，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创造能力。 （作者单位：江苏省金坛市华城实验小学）