数学建模思想　　

许卫兵　　

学习目标： 　　

    对数学模型、数学建模和数学建模教学等有初步的理解，能结合小学数学教学实际，用数学建模的思想和精神来指导着数学教学，使得数学教学真正“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程” ，进而使学生获得对数学的理解的同时，初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。　　

    一、什么是“数学模型”？　　

    “数学模型”（Mathematic Model）是一个含义很广的概念，粗略地讲，数学模型是指参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表达出来的一个数学结构。广义地说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由之构成的算法系统都可以称为数学模型；狭义地解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。 　　

      ——徐利治：《数学方法论选讲》　　

   “数学模型”，就是数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型简化的本质的描述。　　

      ——陈金梅，蔡惠萍．数学建模与数学教育，河北广播电视大学学报，2008，（5），第13卷第3期．　　

    二、什么是“数学建模” ？　　

    把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。数学知识的这一运用过程也就是数学建模。　　

    ——袁黎霞，郑学良．数学建模与数学教学改革【J】，台州学院学报，2005，（6），第27卷第3期．　　

    “数学建模”的教学和实践活动在中国开展得非常顺利，经历近30年的探索，在研究生、大学、中学（特别是高中）阶段，“数学建模”在课程、教学、学习和实践活动等方面已经积累了一些很好的教材、经验和资源。　　

    ——王尚志 胡凤娟 张丹：《小学数学建模教学的探索》，《江苏教育》2011年第3期　　

    三、小学数学教学中如何开展数学建模教学？　　

    用数学建模的思想来指导着数学教学，不同的年级、内容、学习对象应该体现出一定的差异，但也存在着很大的关联性。就教学实施的一般程序来看，可以归结到三个字：“磨”、“模”、“魔”。　　

    所谓“磨”，即“琢磨”。也就是教师首先要反复琢磨每一具体的教学内容中隐藏着怎样的“模”？需要帮助学生建立怎样的“模”？如何来建“模”？在多大的程度上来建“模”？所建的“模”和建模的过程对于儿童的数学学习具有怎样的影响？……在基于建模思想的数学教学中，这些问题都是一些本原性的问题。一个老师如果从来不曾在这些方面作过思考的话，可以肯定，他的数学课堂上数学知识概念、命题、问题和方法等很难见到“数学模型”的影子，他的学生也可能从未感受过“数学模型”的力量。　　

    所谓“模”，即“建模”。也就是在教学中要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和运用。“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程。　　

所谓“魔”，即“着魔”，也就是学生对“模型”在数学学习中的运用有着深切的体验和感悟，并对之产生好奇，从而在数学学习中能主动地构想模型、建立模型、运用模型。儿童数学教学的终极目标，应该是让学生都懂数学、爱数学，对数学怀有敬畏之心和热爱之情。要实现这样的目标，数学教学就不能只停留在知识和方法层面，而是要深入到数学的“腹地”，用数学自身的魅力来吸引学生。正如日本数学家米山国藏所说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益”。 　　

一　　

关于“数学建模”，有着较为确定的含义，即“把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。数学知识的这一运用过程也就是数学建模。”[i] 而“为了一定的目的对现实原型作抽象、简化后，采用形式化的数学符号和语言所表述出来的数学结构”也就是“数学模型”，它是数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型简化的本质的描述。”[ii]为了更形象地说明上述理论，我们可以引用柯朗和罗宾在《什么是数学》中曾举出的一个实例：　　

我们用字母来表示运算定律（如ɑ+b=b+ɑ），“好像是很显然的，但是它们对于整数以外的对象可能不适用。如果ɑ和b不是整数的符号，而是化学物质的符号，那么很显然，交换律并不总是成立的”；“对抽象的整数概念给出一个具体模型就能够说明规律所依据的直观基础”。如下图，在方框中放一些点，一个点代表一个对象，两个整数ɑ和b相加时，把相应的方框两端连线并去掉中间的相隔线，加法的意义就通过这个直观的具体模型表示出来了。　　

同样，ɑ和b相乘，把两个方框中的点排成ɑ行、b列个点：　　

这样的图示，可以看成是加法和乘法的直观模型。　　

张奠宙教授认为，“广义地讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫做数学模型。加减乘除都有各自的现实原型，它们都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的。但是，按通行的比较狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统和数学关系结构才叫做数学模型。例如，平均分派物品的数学模型是分数；元角分的计算模型是小数的运算；500人的学校里一定有两个人一起过生日，其数学模型就是抽屉原理。”[iii]　　

    以这样的认识来看待小学数学教学，很显然，小学生学数学似乎都不必要学得这样抽象、这样概括，甚至可以说，小学数学教学中难以有真正的“狭义意义”上的数学建模。然而，换一个角度来看，我们又应该清醒地知道“建模”、“模型”对于数学、对于数学学习的重要价值。郑毓信教授在《数学教育哲学》一书谈到：“就数学在古埃及、古巴比伦等地的早期发展而言，人们主要是通过观察或实验、并依靠对于经验事实的归纳获得了关于真实事物或者现象量性属性的某些认识；但是，从现今的观点看，这些只能说是一种经验的知识而不能被看成真正的数学知识，因为，真正的数学知识应当是关于抽象对象的研究”、“原始意义上的七桥问题，即能否一次且无重复地通过哥尼斯堡的七座桥的问题，显然只能说是一个游戏，而不被看成一个真正的数学问题；与此相反，这一问题由于欧拉的合理抽象被变形成了一般的‘一笔画’问题，并通过‘奇点’、‘偶点’等概念的引进得到了十分一般的处理，从而获得了真正的数学意义”。[iv]　　

    由此可以看出，数学在本质上就是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学习只有深入到“模型”、“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。这种“深入”，就小学数学教学而言，更多地是指用数学建模的思想和精神来指导着数学教学，不断让学生经历从具体事例或现实原型出发逐步抽象、概括建立起某种模型并进行解释和运用，从而加深对数学的理解和感受，提升数学学习能力。　　

  二　　

    用数学建模的思想来指导着数学教学，不同的年级、内容、学习对象应该体现出一定的差异，但也存在着很大的关联性。就教学实施的一般程序来看，可以归结到三个字：“磨”、“模”、“魔”。　　

    一、“磨”。　　

所谓“磨”，即“琢磨”。也就是教师首先要反复琢磨每一具体的教学内容中隐藏着怎样的“模”？需要帮助学生建立怎样的“模”？如何来建“模”？在多大的程度上来建“模”？所建的“模”和建模的过程对于儿童的数学学习具有怎样的影响？……在基于建模思想的数学教学中，这些问题都是一些本原性的问题。一个老师如果从来不曾在这些方面作过思考的话，可以肯定，他的数学课堂上数学知识概念、命题、问题和方法等很难见到“数学模型”的影子，他的学生也可能从未感受过“数学模型”的力量。　　

    众所周知，“鸡兔同笼”问题的数学模型是二元一次整数方程，然而，在小学里学生并不学习二元一次整数方程。可是，“鸡兔同笼”却被广泛地运用到小学教材中：北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；而人教版则是浓墨重彩，在六年级上册“数学广角”中详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。教学这些内容时，如果仅是就题讲题，就课本讲课本，难免显得过于简单和浅薄。那么，对小学生的数学学习而言，“鸡兔同笼”是否还隐藏着其他的“模型”因素呢？我想至少有三方面是值得关注的：一是内容层面的，即“鸡兔同笼”这类题本身的题型结构特征（告知两个未知量的和以及两个未知量之间一定的量值关系，求未知量）；二是方法层面的，即“假设法”的一般解题思路（画图、列举、替换等在某种意义上都是“假设”）；三是思想层面的，即从一个具体的“鸡兔同笼”数学问题出发，在经历了对其解答的过程之后，能将解决它的方法和思路进行扩展运用（学习“鸡兔同笼”，最终的目标并不仅仅是会解答一道“鸡兔同笼”，更有其他）。有了这样的理解，在教学中，我们就会引导学生在关注教材中所编排内容的同时，注意把握题目的类型、结构和类比运用，用系统的眼光来看待它的教学价值。这些，恰恰是学生到了中学后真正建立二元一次整数方程数学模型的基础。　　

    再比如，“确定位置”的数学模型是立体坐标系。学生在一年级接触到的一列队伍中“老爷爷排在第3个”，其实就是一维空间上的确定位置；在二年级接触到的“小明坐在第3排第4个”，其实就是二维空间上的确定位置；五年级学习的“数对”则是初步抽象的二维坐标模型。如果在教学中能将这一层意义渗透进去，一定能为学生将来学习立体坐标系提供很好的支持。　　

    眼界决定境界。一个老师是否具有“模型”眼光和“模型”意识，往往会决定着他的教学深刻性和数学课堂的品质。　　

    二、“模”。　　

    所谓“模”，即“建模”。也就是在教学中要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和运用。对小学数学而言，“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。以下是两位老师利用同一素材教学“减法”的片段：　　

    【教学片段1】　　

    出示情境图。　　

　 　

    师：请同学们认真观察这两幅图，说一说从图上你看到了什么？　　

    生：有5个小朋友在浇花，走了2个，剩下3个。　　

    师：你真棒!谁再来说一说。　　

    生：原来有5个小朋友在浇花，走了2个小朋友，还剩下3个小朋友。　　

    师：很好！你知道怎样列式吗？　　

    生：5-2=3。　　

    教师听了满意地点点头，板书5-2=3。　　

    接着教学减号及其读法。　　

   【教学片段2】　　

    出示情境图。（同上）　　

师：谁来说一说第一幅图，你看到了什么？　　

生：从图中我看到了有5个小朋友在浇花。　　

师：第二幅图呢？　　

生：第二幅图中有2个小朋友去提水了，剩下3个小朋友。　　

师：你能把两幅图的意思连起来说吗？　　

生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个。　　

师：同学们观察得很仔细，也说得很好。你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？　　

生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩几个？　　

生（齐）：3个。　　

师：对，大家能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？　　

（教师在行间指导学生摆圆片，并请一生将圆片摆在情境图的下面。）　　

师：（结合情境图和圆片说明）5个小朋友在浇花，走了2个，还剩3个；从5个圆片中拿走2个，还剩3个，都可以用同一个算式（学生齐接话：5-2=3）来表示。（在圆片下板书：5-2=3）　　

生齐读：5减2等于3。　　

师：谁来说一说这里的5表示什么？2、3又表示什么呢？　　

……　　

师：同学们说得真好！在生活中存在着许许多多这样的数学问题，5-2=3还可以表示什么呢？请同桌互相说一说。　　

生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，还剩3瓶。　　

生2：树上有5只小鸟，飞走2只，还剩3只。　　

……　　

上述两段教学，所体现出来的教学着力点是不一样的。第一个片段，属于“就事论事”式的简单教学，教师对教学的定位完全停留在知识传授的层面上，“5-2=3”仅是一道题的解答算式而已。第二个片段，除了教学充分展开外，更主要的是渗透了初步的数学建模思想，训练的是学生抽象、概括、举一反三的学习能力。且这种训练并不是简单、生硬地进行，而是和低年级学生数学学习的特点相贴切——由具体、形象的实例开始，借助于操作予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以扩展和推广，赋予“5-2=3”以更多的“模型”意义。　　

从上例可以看出，运用建模思想来指导小学数学教学，在很大程度上是要在学生的认知过程中建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的“模型”载体，通过这样的具有“模型”功能的载体，帮助学生实现数学抽象，为后续学习提供强有力的基础支持。当然，对学生“模型”意识的培养和“建模”方法的指导，要根据具体内容和具体年级而有层次不同的要求，低年级要恰到好处地结合日常实例和常规教学对学生进行“模型”及“模型意识”的渗透、点化，高年级则可以更明确地引导学生关注数学学习中“模型”的存在，培养初步的建模能力。　　

三、“魔”。　　

所谓“魔”，即“着魔”，也就是学生对“模型”在数学学习中的运用有着深切的体验和感悟，并对之产生好奇，从而在数学学习中能主动地构想模型、建立模型、运用模型。儿童数学教学的终极目标，应该是让学生都懂数学、爱数学，对数学怀有敬畏之心和热爱之情。要实现这样的目标，数学教学就不能只停留在知识和方法层面，而是要深入到数学的“腹地”，用数学自身的魅力来吸引学生。正如日本数学家米山国藏所说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益”。[v]　　

要让学生能充分感受到数学模型和建模教学所产生的“魔力”，实际教学中，一方面要结合日常教学给学生以充分的体验和感受。比如，在二年级教学“确定位置”时，设定观察的规则（观察顺序）非常重要——“从左向右数是第几排”、“从前往后数是第几列”、“从下往上数是第几层”……如果我们结合这样的观察顺序在直观图上分别添加“横向带箭头的直线→”（坐标系中的“横轴”原型）和“纵向带箭头的直线↑”（坐标系中的“纵轴”原型），既将观察顺序形象表达，又蕴含了二维坐标（第一象限）的基本原理。如果学生在独立练习中也能模仿着使用，那感受会更加深刻。而在六年级学习“确定位置”（用方向、角度、距离来确定平面图中任意一个位置）时，如果让学生试着总是以观测点为中心先画出一个“十字”坐标图然后再确定位置，那学生的观察不仅变得有序，而且准确性很高。在此基础上，老师再对学生进行“建模”、“用模”的学习水平进行适当评价和鼓励，教学的境界就会大大提升。　　

另一方面，也可以在中高年级进行一些专题性的训练。我们曾以“鸡兔同笼”为例进行过这方面的尝试。在学生初步能用不同的假设思路解答鸡兔同笼的题目后，老师提问：“生活中你见过有人把鸡和兔放在一个笼子里养殖的吗？就是放在一起养殖，也没谁去做数头数脚这种无聊的事吧。我们的老祖宗干嘛煞费苦心地研究来研究去的，一千多年过去了，鸡兔同笼这道数学题还作为宝物似的流传到今？”（屏幕显示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？）在学生对所提问题一时困惑皱眉时，老师提议带着这个问题来继续进行“龟鹤同游”和“人狗同行”的研究并再次提出疑问：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？”经过研究和比对，学生发现：“鸡兔同笼”不只是代表着鸡、兔同笼的问题，有很多类似的问题都可以看成是“鸡兔同笼”问题，如人马问题、牛鸡问题、汽车和自行车的轮子问题，等等。随后，师生共同研究“信封里放着5元和2元的钞票，共8张，34元，信封里5元和2元的钞票各有多少张？”，探讨其与鸡兔同笼问题的关联。经过比较和猜想，学生的认识再次提升：“这里的2元的钞票就相当于鸡有2只脚，而5元的钞票就相当于兔，是5只脚的怪兔”。最后，老师让学生联系生活，将一些实际问题编成“怪鸡”、“怪兔”同笼的数学问题并解答。到了课堂总结时，屏幕上第三次出示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？学生总结感受之后，老师顺势给以强化：从一个具体的数学问题出发，研究解法，并上升到一种模型，最后进行广泛的运用，数学就是这样发展起来的。同样，如果我们在学习各种数学问题时能有“模型”的意识，举一反三，能触类旁通，那么你必将会走向数学学习的自由王国。　　

上述教学通过对“‘鸡兔同笼’有什么独特的魅力？”这一问题的三次追问把整节课串联起来，虽然每一次追问的层次和目标是不一样（第一次是针对具体的、“原生态”的鸡兔同笼问题发问，主要是激发学生的探究欲望，向更高的学习层次迈进；第二次是进一步明确“鸡兔同笼”问题的结构、模型，同时，又让学生很好地经历更高层次“数学化”的过程；第三次是帮助学生实现完整的“模型”建构，实现“形式的”数学知识向现实生活的“复归”），但是，其核心都是让学生从“模型”和“建模”的角度来亲近数学，了解数学。站在“高点”再回望探究之旅，学生对数学的认识就更加深入了，由此而产生的“魔力”，将深刻而持久地影响着他们的数学学习和生活。　　

这是数学教学的崇高境界。 　　

　 　

　 　

　 　

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[i] 袁黎霞，郑学良：《数学建模与数学教学改革》，载《台州学院学报》2005年6月第27卷第3期。　　

[ii] 陈金梅，蔡惠萍：《数学建模与数学教育》，载《河北广播电视大学学报》2008年5月第13卷第3期。　　

[iii] 张奠宙等著：《小学数学研究》，高等教育出版社2009年1月版，第241页。　　

[iv] 郑毓信著：《数学教育哲学》，四川教育出版社2005年6月版，第49、51页。　　

[v] 转引自钱阳辉：《发展学生思维的关键在于展开探究过程》，载《江苏教育》2009年，第5期，卷首语。 　　

【备课思考】　　

“鸡兔同笼”作为一种经典名题，在国标新教材中，不少版本都有编排。比如，北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；而人教版则是浓墨重彩，在六年级上册“数学广角”中用6个页码详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。除此之外，还有名师在二年级用“画图法”、在六年级用“二元一次方程组”来生动地演绎它。　　

近来，我在思考如下几个教学疑问时，也将目光聚焦到“鸡兔同笼”：一是学生对各门学科的学习方法有着一定的共性，但对数学的学习是否有着“属于数学”的方法？这种方法是不是应该在各年级的教学中有所渗透，到高年级有所明示，作为小学向初中在学习上的一种过渡？二是尽管“鸡兔同笼”各年级都可以作为教学内容，且有着不同的目标指向，但对于六年级而言，是否可以用来让学生“从已有的经验出发，经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程”，从而更好地认识数学？好多小学生升入初中后学习数学时表现出极大的不适应，是否与他们缺乏必要的“模型”意识和举一反三的能力有关？三是郑毓信教授在《数学教育哲学》中说：“数学是模式的科学”，“数学教学的基本任务就在于帮助学习者逐步建立与发展分析模式、应用模式、建构模式与欣赏模式的能力”，我们怎样将这样的理性论断转化为可感的教学行为，让学生在学习中感受到一些数学问题所具有的“模型”的力量呢？带着这样的思考，我在六年级进行了“鸡兔同笼”数学活动课的教学尝试。　　

【教学过程】　　

一、揭示课题。　　

师：同学们请看屏幕，今天我们要研究——（生齐）鸡兔同笼。（板书：鸡兔同笼）。知道“鸡兔同笼”是什么意思吗？　　

生1：就是把鸡和兔关在一个笼子里。　　

生2：鸡兔同笼是一种数学题目，就是告诉我们鸡和兔的头共有几只，脚共有几只，求鸡兔各有几只。　　

师：是的，鸡兔同笼是一种数学问题（板书：问题）。早在1500多年以前，我国的古典著作《孙子算经》中就记载着这样的数学趣题。　　

（出示：今有鸡兔同笼，上有8头，下有22足。问鸡有几只？兔有几只？）　　

师：题目中告诉了我们哪些信息？　　

生：鸡和兔共有8个头，22只脚。　　

生：还有两个条件：鸡有两只脚，兔有四只脚。 　　

师：很好，你还看到隐藏着的两个条件。大家会解答这个问题吗？动笔试一试吧。不能解决的，也可以同桌先交流交流。　　

二、尝试探究。　　

1．自主练习，展示做法。　　

生1：我先用22－8×2=6（只），我是想假设全部是鸡的话，8只鸡就有16只脚，而22减去16还多出6只。也就是有些兔也当成鸡了，一只兔当成一只鸡就会少算2只脚，再用6÷2=3，就是兔有3只，鸡有8－3=5只。　　

师：大家听懂了吗？他是把鸡和兔全部假设成鸡了，这种方法（板书：方法）很不错。　　

生2：我是全部假设成兔，总共有8×4－22=10（只）脚，一只鸡当成一只兔就会多算2只脚，再用10÷2=5（只），就是鸡有5只，兔有8－5=3只。　　

师：这两位同学的方法有什么相同之处吗？　　

生：都是用的假设法。（板书：假设）　　

师：还有和他们的解法不一样的吗？　　

（学生还提出用方程、画图等方法解决，教师一一加以评价并让学生比较不同的解法，说一说自己喜欢哪种方法）　　

生1：我喜欢方程解法，因为方程顺着题目的意思想起来比较方便。 　　

生2：我喜欢画图的方法，因为画图既有趣又方便，还特别好懂。 　　

师：这些解法各有各的特点，它们既有联系又有区别，既有优长也有缺陷。你们有没有发现，画图的方法、方程的方法和刚才这两位同学使用的假设法有共同的地方吗？　　

生：都含有“假设”的意思。　　

师：看得很准。“假设法”确实是解决“鸡兔同笼”问题的典型思路。　　

2．资料介绍，沟通联系。　　

师：你想知道古人是如何解答这个问题的吗？ 　　

（屏幕显示：足数÷2－头数=兔数  头数－兔数=鸡数）　　

师：看起来很复杂的“鸡兔同笼”问题，古人解起来就这么简单啊。咱们用这种方法口算一下上面这道题，结果和我们刚才算的一样吗？　　

学生口算，教师板书：22÷2－8=3（只）……兔   8－3=5（只）……鸡　　

师：老祖宗的方法真是太简单了，其中的道理你能讲清楚吗？　　

（学生多人讲，但均说不清楚）　　

师：这个方法看起来很简单，要理解它还真不容易呢。其实对这个问题，不但咱们中国人有研究，外国人对它也有关注，在匈牙利出生的美国教授波利亚，他讲了一个很有趣的故事解释了这种解法的道理。　　

（课件演示，教师相机解释）：草地上有一群鸡兔在玩耍，突然，鸡对兔说：“我们的本领可大了，可以做金鸡独立”。说着每只鸡就抬起一只脚，只用一只脚站着。兔子们见了，也不甘示弱：“这有什么了不起，看看我们兔子作揖。”说完，每只兔就把两只前脚提起来，只留下两只后脚站着。哈哈，这下有趣了，原来的鸡都变成了“独角鸡”，原来的兔都变成了“双脚兔”。看着图示，你发现什么了？　　

生1：现在草地上鸡和兔的头数没变，站立的脚数只剩下原来的一半，也就是“足数÷2”。　　

生2：现在草地的脚数再和头数比，只有一只兔子多出1只脚，所以，足数÷2-头数=兔的只数。　　

师：都看明白了吗？你们觉得我们老祖宗的方法怎么样？　　

生：方法很简单，蕴含的道理很深刻！　　

师：不过，大家也要小心哦，这种看起来很简单的方法也是有局限的。　　

三、责疑引思。　　

师：通过刚才的学习，鸡兔同笼问题都会解决吗，有没有什么疑问？　　

生（都摇头）：没有！　　

师：老师有一个疑问，在生活中我们很少看到有人把鸡和兔放在一个笼子里养吧，就是放在一起养，也没谁去数头数脚做这种无聊的事。我们的老祖宗干嘛煞费苦心地研究来研究去的，一千多年过去了，还作为宝物似的流传到今？“鸡兔同笼”有什么独特的魅力吗？”（显示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？）　　

（学生回答不清，老师提议带着这个问题来继续进行下面的研究）　　

四、初步建模。　　

师：据资料显示，日本人也研究鸡兔同笼，称它叫“龟鹤问题”。　　

（出示：龟鹤同游，共有40个头，112只脚，求龟、鹤各有多少只？）　　

思考：日本人说的“龟、鹤”和我们说的“鸡、兔”有联系吗？ 　　

生：龟和兔一样的，有四只脚。鹤和鸡一样的，都是两只脚。　　

师：那这道“龟鹤同游”问题会解决？　　

（学生试做后，交流算法）　　

古人法：112÷2－40=16（只）……龟  40－16=24（只）……鹤　　

假设法：（112－40×2）÷2=16（只）……龟  40－16=24（只）……鹤　　

比较后得出：“龟鹤同游”和“鸡兔同笼”是同一类型的数学问题。　　

师：老师昨天晚上还看到这样一首儿歌。　　

（出示：一队猎人一队狗，两列并成一队走。数头一共五十五，数脚共有一百九。）　　

师：我们研究了鸡兔同笼、龟鹤同游，也来给这首儿歌取个名字？　　

生：人狗同行。　　

师：看了“人狗同行”的儿歌，和“鸡兔同笼”比较，你有什么话想说?　　

生：我觉得它和鸡兔同笼的问题仍然是一样的。猎人相当于鸡，狗相当于兔。　　

师：他的这个理解可以吗？　　

生：可以。　　

师：虽然把猎人看作鸡有些不雅，但是从研究的角度大家确实是找到了他们数量上的联系。显示：猎人——鸡（两只脚）  狗——兔（四只脚）　　

师：回想一下，从“鸡兔同笼”到“龟鹤同游”，再到“人狗同行”，你发现了什么呢？　　

（再次显示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？）　　

生1：鸡兔同笼是多方面的。　　

生2：“鸡兔同笼”可以表示好多种和“鸡兔同笼”相同的情况。　　

师：是啊，鸡兔同笼不只是代表着鸡兔同笼的问题（老师在课题上加上双引号），它就好像是一个模型！（板书：模型）我们可以找到很多它的影子。想想看，鸡兔同笼问题还可以变化成什么问题？　　

生1：鸭猫问题。 　　

（大家都笑起来） 　　

生2：猪鹅问题。 　　

生3：马鹰问题。 　　

师：鸡、鸭行不行？　　

生：不行的，它们都是两条腿，数量没有区别。　　

五、强化体验。　　

1．拓展。　　

师：这个信封里放的是5元和2元的钞票，共8张，34元，你能算出信封里5元和2元的钞票各有多少张吗？　　

（学生尝试解答后交流用假设法和古人算法的情况，发现古人算法不好用了。教师引导思考揭示：古人算法只能用于2腿、4腿的“鸡兔问题”。回应前面提示的：古人的方法也是有局限的）　　

师：这个问题和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗？ 　　

生：其实这也是鸡兔同笼问题，这里的2元的钞票就相当于鸡有2只脚，而5元的钞票就相当于兔，是五只脚的“怪兔”！　　

师：（故作神秘状）是这个意思？ 　　

（课件动态演示：将2元钞票换成鸡，将5元钞票换成五只脚的“怪兔”） 　　

师：同学们真是联想丰富，把兔子给“整成”了五条腿。看来我们的鸡兔同笼问题不仅包括4只脚的兔子，还可以是5只脚的怪兔。你能把这个题目改成“鸡兔同笼”的数学问题吗？　　

（显示：鸡有2脚，怪兔有5脚。共8头，34脚。鸡有多少只？怪兔有多少只？）　　

看来“鸡兔同笼”中的“鸡”和“兔”也可以转换成好多脚的“怪鸡”和“怪兔”。能联系实际举个例子吗？　　

……　　

2．应用。　　

师：让我们带上这样的眼光再到身边去看一看吧。　　

①（课件出示：工地运来长度分别为8米和5米的水管25根，用它们一共铺设了173米长的管道。运来两种水管各多少根？）　　

学生抽象变题：怪鸡5脚，怪兔8脚，共25头，173脚。问：怪鸡有多少只？怪兔有多少只？　　

②（课件出示：刘老师带着41名队员去海陵公园划船，共租了10条船，恰好坐满，每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船和小船各租了几条？） 　　

学生抽象变题：怪鸡4脚，怪兔6脚，共10头，42脚。问：怪鸡？只，怪兔？只。　　

选做一题，全班讲评，形成全课板书。　　

　　

六、总结全课。　　

师：经过一节课的研究，现在再来回答这个问题（第三次显示“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？），你有什么想说的吗？　　

生1：我觉得鸡兔同笼问题的解法可以应用到很多问题中去。　　

生2：鸡兔同笼只是一种问题的模型，好多生活中的问题都可以看成是变化的鸡兔同笼。　　

师：（对着板书）从一个具体的数学问题出发，研究解法，并上升到一种模型，最后进行广泛的运用，数学就是这样发展起来的。同样，如果我们在学习各种数学问题时能有“模型”的意识，举一反三，能触类旁通，那么你必将会走向数学学习的自由王国。　　

　 　

作业：　　

1. 新课程标准中对于数学建模以及建模教学提了哪些方面的要求？
2. 在现实的小学数学教学中，如何理解建模教学的“阶段性”？
3. 在小学数学教学中，如何基于模型思想开展数学教学？