数学模型一般地说，是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的数学结构（张奠宙语），一般可分为三类：概念型数学模型、方法型数学模型、结构型数学模型（顾泠沅语）。谈起数学建模，有不少一线老师都觉得很不自信，这好像只是高校专家们的语汇，距离我们的教学实践似乎挺遥远的，小学老师似乎还没有提建模的“功力”。我倒觉得数学建模其实离我们的实践并不遥远，因为数学本就是模式的科学。《译林》杂志曾刊载过这样一则笑话：　　

父：如果你有一个桔子，我再给你两个，那你数数看一共有几个桔子？　　

子：我不知道，因为在学校里，我们是用苹果数的。　　

这只是一则笑话而已，在我们的现实生活中应该不会存在，老师在教学生时，一定是这样教的：1个桔子+2个桔子=3个桔子，1个苹果+2个苹果=3个苹果，1个人+2个人=3个人，1颗树+2颗树=3颗树，…，直至抽象出1+2=3。数学抽象本就是一种概括，一种建模的过程，即是集中地表明了一类事物或现象在数量等方面的共同特性。据此，1+2=3，也是一个模式的、模型的存在。从这个意义上看，我们的每堂数学课可能都是在建立数学模型。概念教学、计算教学、解决问题构成了小学数学教学的主体部分，下面我结合自身的实践就以上三个方面各截取一个片段，谈谈我对基于建模思想的数学教学的理解与探索。　　

概念型数学模型：建模与生活原型　　

“认识方程”教学片段：　　

师：老师带来一个谜语，请同学们猜猜看。　　

课件呈现：一个瘦高个，肩上挑副担，如果担不平，头偏心不甘。　　

生：天平。　　

课件呈现：　　

天平由平衡（空天平）——不平衡（一端有物品）——平衡（两端都有物品）。　　

生：指针指在刻度的中间，天平是平衡的。　　

师：天平平衡又说明什么？　　

生：说明天平两边的物品质量相等。 　　

师：相等用什么数学符号表示？　　

生：用等于号。　　

师：小明在天平的两边放上砝码，你能用式子表示左右两边的质量关系吗？（天平的左边放两个50克的砝码，右边放一个100克的砝码。）　　

（50＋50＝100，50×2＝100）　　

师：像这样左右两边相等的式子，我们把它叫做等式。　　

师：如果从天平的左边拿走一个砝码，这时候还能用等式表示两边的质量关系吗？　　

生：天平不平衡，不能用等式表示，可以表示为50＜100，或者100＞50。　　

师：为了让天平达到平衡，小宇准备在天平的左边放这样一个物体，这个物体的质量不知道怎么办呢？ （出示一个物体）　　

生：咱们就用x来表示。　　

师：以前学的用字母表示数，这里就能应用了！这里的x代表的数咱们事先不知道，这样的数我们就把它叫做未知数。　　

师：如果把这个物体放下来，猜一猜，天平两边物体的质量关系又会是怎样的呢？把你的猜测用式子表示出来。　　

（X +50＜100，X +50＞100，X +50＝100）　　

师：请看大屏幕，现在你也能用式子表示天平两边物体的质量关系吗？　　

（左边放两个一样的砝码，右边放一个200克的砝码天平平衡。）　　

生：2X＝200。　　

（学生交流的过程中，老师在黑板上呈现相应的算式：　　

50＋50=100、50×2=100、50﹤100、100﹥50 　　

X+50＞100、X+50＜100、X+50＝100、2X＝200 ）　　

师：你能将这些式子分分类吗？　　

（学生活动，汇报交流。）　　

师：实际上就是这样的四类：①没有未知数也不是等式；②有未知数但不是等式；③没有未知数但是等式；④含有未知数而且是等式。像50＜100、100＞50 和50+50=100、50×2=100这两类式子大家都比较熟悉，而X +50>100、X+50﹤100这类式子比较复杂，我们到中学会更深入地了解它。像X+50=100、2X=200这样含有未知数的等式就是我们今天要重点研究的方程。　　

随感：　　

在这个片段的教学中我借助天平帮助学生体悟等式和方程的含义，为抽象的方程找到了直观的生活原型：天平。天平两边平衡，表示两边的物体质量相等；两边不平衡，表示两边物体的质量不相等，让学生在天平平衡的已有经验中体悟等式的含义，既突出了教学的重点，又克服了学生已有的“算术思想”对方程概念的建立所带来的干扰。引导学生将旧知进行迁移和提升，很自然地解决了“代数思想”的第一个关键问题——用字母代替不知道的量（未知数），帮助学生积累了鲜活的方程的表象。方程其实就是一种模型，是一种概念型数学模型，很多这样的模型都是基于现实的生活情境作出适度抽象后的产物，在小学许多数学教学内容本身就是一种模型：分数是平均分派物品的数学模型；小数的生活原型就可以看作是元、角、分；自然数是表述有限集合“数数”过程的数学模型；400人的工厂里一定有两个人同一天过生日，其数学模型就叫抽屉原理。　　

方法型数学模型：建模与符号化思想　　

“简单的分数加减法”教学片段：　　

师：咱们今天要研究的都是同分母的分数加减法。你们会计算这样的同分母分数加法吗？接下来咱们再来一组抢答题：看谁算得又对又快！ 　　

课件逐个呈现：　　

                 　　

1/△+3/△    ○/5+□/5     ○/△+□/△　　

（直至，学生都能够很快地说出答案，而且情绪非常高涨。）　　

师：数据这么大，也能算得又对又快，你们一定有自己的“绝招”。　　

生：分母不动，分子相加作分子就行了！　　

师：继续抢答：1/△+3/△　　

生：4/△。　　

师：你们还会吗？　　

生：○/5+□/5=（○+□）/5　　

生：○/△+□/△=（○+□）/△　　

师：其实这不就是用符号把大家刚才发明的“绝招”给表示出来了吗？ 　　

○/△+□/△=（○+□）/△　　

师：看着大家发明的这个绝招，老师真的很佩服大家。可是我还有个疑问：为什么“分母就不要变，分子却必须相加”呢？有同学已经明白了，更多的同学还在思考。咱们带着这个问题再看一组练习，边练边想。第一题：。　　

  生：。　　

师：能说说你是怎么想的吗？　　

学生阐述，课件同时呈现：2个加上3个等于5个。　　

师：第二题：。　　

生：。　　

课件同时呈现：2个（ ）加上3个（  ）等于5个（ ），学生填空。　　

师：几个加上几个还表示几个，所以分母还是9呀！ 　　

师：第三题：　　

课件呈现：2个（）加上3个（）等于5个（），学生填空。　　

生：是2个加上3个所以等于5个，分子必须得加起来。　　

师：这些分数加法其实都是在计算2个几分之一加上3个几分之一等于5个几分之一。学习就得学会联系，如果我们联系过去学过的整数加法来想20+30=50，不也是在计算2个加3个吗？　　

课件呈现：2个（10）加上3个（10）等于5个（10），学生填空。　　

师：2+3=5，不就是2个1加上3个1等于5个1吗？　　

课件呈现：2个（1）加上3个（1）等于5个（1），学生填空。　　

师：由此可见咱们的分数加法和整数加法，其实都是在计算几个加上几个等于几个，只是咱们过去学的加法是几个一加几个一，几个十加几个十，而今天学的是几个几分之一加几个几分之一罢了。 　　

随感：　　

归纳同分母分数加法的共同特点，诱导学生用数据较大的同分母分数加法题进行快速抢答，其间由分母而至分数渐次抽象，用符号表达数量关系，演绎同分母分数加法的算法模型，促使学生生成和体悟“分母不变，分子相加”的算法“绝招”。这里的计算法则其实就可以看作是一种算法模型，借助符号化的方法将模型进行抽象的建构。悟出算法后，教学并不能满足于“知其然”，继续带领学生由算法而探究算理，追究其中的“所以然”。把分数单位与整数中的“一”、“十”的计数单位建立起有机的联系，让学生悟出同分母加法的法则，实质上就像“几个十”加“几个十”，“几个一”加“几个一”一样，也是“几个几分之一”加“几个几分之一”，从而一步步地跃升思考的跨度。算法作为一种方法型数学模型不能仅仅满足于形式化地将它揭示出来，更要知晓其背后的原理，这也许就是大家常说的算法与算理的统一吧。　　

结构型数学模型：建模与变式理论　　

“鸡兔同笼问题”教学片段：　　

师：日本人对鸡兔同笼问题也有研究，日本人又称它叫“龟鹤问题”。日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？ 　　

生：是一样的意思：龟就相当于兔，都是四只脚；鹤就相当于鸡，都是两只脚。　　

师：假如我们不叫它鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，是不是还可以给它取个其他的名字呢？　　

（鸭猫问题、猪鹅问题……）　　

师：看来鸡兔同笼问题中的鸡不仅仅代表鸡，兔也不仅仅是指兔！这儿还有一首民谣，我们一起来读一读：　　

 （课件出示： 一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二。 ）　　

师：读了这则民谣，你有没有什么话想说?　　

生：我觉得这还是鸡兔同笼问题。这里的猎人有两只脚其实就是鸡，而狗就是兔。　　

（课件出示：猎人——鸡  两条腿     狗——兔  四条腿 ）　　

师：你能算出猎人和狗各有多少吗？用你喜欢的方法自己去试一试。　　

（学生练习，老师巡视指导）　　

师：看来鸡兔同笼不仅仅可以解决“鸡兔”同笼的问题，换成乌龟和仙鹤，换成人和狗，仍然是鸡兔同笼问题，“鸡”“兔”同笼其实只是这类问题的一个模型！                                             　　

师：以前我们就接触过鸡兔同笼问题，今天又进一步研究了这类问题，可现在老师突然想到一个问题：生活中谁会将鸡和兔放在一个笼子里？即使放在一个笼子里又有谁会去数他们的脚呢?直接数头不就行了？生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？　　

（学生感觉有些困惑。）　　

师：接下来咱们再做一个“猜一猜”的游戏，大家可以边猜边想。老师这儿有一个信封，这信封里放了7张纸币，有5元的和2元的，共29元，你们能猜出信封里放了几张2元纸币，几张5元纸币吗？　　

生：假设全是2元的就是14元，而现在有29元，还多15元，我们就把2元的换成5元的，每换一张就多3元，这样就要换5张5元的，还剩2张2元的。　　

师：是这个意思吗？ 　　

（课件动态演示：换纸币的过程）　　

师：这个游戏和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗？　　

生：其实这也是鸡兔同笼问题，这里的2元纸币就相当于鸡有两只脚，而5元纸币就相当于兔，也就是五只脚的“怪兔”！　　

师：（故作神秘状）是这个意思？ 　　

（课件动态演示：将二元纸币换成鸡，将五元纸币换成五只脚的“怪兔”）　　

（大家一看“怪兔”的模样，都乐了）　　

师：看来我们的鸡兔同笼问题不仅包括4只脚的兔子，还可以是5只脚的怪兔，又进一步逼近了问题的本质！ 　　

随感：　　

通过“鸡兔”、“龟鹤”、“人狗”等不同变式的呈现，使学生初步感知鸡兔同笼问题只是一个 “模型”，虽然问题的情境在变化，但问题的本质----数量之间的结构关系是不变的。学生在解决这些问题的过程中逐渐形成鸡兔同笼问题的“数学形式”及其解题策略体系，初步建构关于鸡兔同笼问题的数学模型。“猜一猜”的游戏以及课件中“怪兔”夸张变形的演示，用“数形结合”的策略把鸡兔同笼问题作进一步的概括、抽象、提炼。指导学生建构数学模型的过程是循序渐进的：由“鸡兔”到“龟鹤”再到“人狗”，这一演变的过程只是换了个“包装”，是对问题原型表象的概括；由“四脚兔”变为“五脚兔”，则是对问题本质的类推与抽象。引导学生进行联系、对比、分析，学生的思维在不断的内省、自悟中得到提升，自主建构鸡兔同笼问题的模型也便水到渠成了。鸡兔同笼可以看作是这一类问题的结构型模型，模型只有与变式相伴才显活力和魅力，也才能彰显其意义。　　

　 　

《数学课程标准》强调：从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。在小学阶段渗透数学建模思想已显得越来越重要。数学模型是对现实世界的某一特定研究对象，在作了必要的简化和假设之后，运用适当的数学工具，并通过数学语言提炼、表达出来的一个数学结构，如数学公式、数学概念、解题方法及某类知识的特征等。有了建模意识可以让我们对数学问题的把握更贴近本原，目光更长远，人们在批评数学教育时总喜欢用上这个工程问题的例子：　　

有一水池，打开进水管注满全池要3小时，打开出水管放完整池水要2小时，现在两管齐开，要多长时间才能把一池水放完？　　

有人质疑：日常生活中，有谁会同时打开进水管和出水管呢？于是，它便成了被批判的对象。其实用一种模型的观念来审视：草场上草的生长和割去、家庭的收入和支出、人体的新陈代谢等等不就和水池的进水出水是同一个模型吗？如果你把它题当作一个反映动态平衡问题的模型，也许它就具有价值了。之所以有人自以为高明的批评它，那时因为他们还缺乏一种建模的眼界，情境、素材只是表面的，模型才是最为根本的。数学建模，是一种方法，是一种思想，更是一种观念，一种意识。　　

（作者单位：江苏省海安县实验小学）