转化思想 思想转化
发布时间：2015-01-26
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录入者：朱春香
转化思想 思想转化
——转化思想在小学数学教学中的渗透
【摘 要】小学阶段的数学思想方法有很多，转化的思想是小学数学学习中分析问题和解决问题中一种重要的数学思想。教师在小学数学教学中要注重转化思想的渗透，授人以鱼不如授人以渔，在传授学生知识的同时，更要让学生学会学习，掌握学习的方法。本文就什么是转化思想，我国小学阶段转化思想渗透的现状，以及为什么要渗透和如何渗透转化思想展开了探讨。
【关键词】转化思想 小学阶段 渗透
【正 文】
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时说：“什么叫解题？解题就是把要解的题转化为已经解过的题”。的确可以这么说，每道数学题的解题过程都是转化的过程，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。转化既是一种思想，又是一种策略，也是一种方法。那到底什么是转化呢？
一、概念的界定
所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是对数学规律的理性认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法， 是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。
小学数学思想方法：由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反应在思想和方法本质上是一致的。如常用的图形结合思想和画图方法，分类思想和分类方法，其本质上是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。
转化：（1）变易，改变。（2）指矛盾发展过程中两个对立面在一定条件下对换主次地位，事物发生质的变化。
转化思想：美国教育心理学家布卢姆在《教育目标分类学》中明确指出：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。
小学数学中的转化思想就是在研究解决有关数学问题的过程中，通过有意识的联想——转化，把陌生的、复杂的、不规则的问题或图形转化为熟悉的、简单的、规则的问题或图形，从而求得原问题的解。
二、我国小学阶段转化思想渗透的现状
小学阶段数学学科中需要向学生渗透的数学思想方法有很多，转化思想是其中最重要的一种，甚至苏教版小学数学六年级下册专门有一个单元《解决问题的策略——转化》。对于转化的思想，小学数学教师并不陌生，提到转化，我们的第一反应是在“空间与图形”领域中平行四边形、三角形、梯形、圆形等平面图形面积公式的推导，以及立体图形中圆柱体和圆锥体体积公式的推导要用到转化；在“数与代数”领域，往往想到异分母分数加减法的算理等。在教学这些明显要用到转化思想的相关内容时我们教师会非常尽力地向学生介绍、推荐转化的思想，想通过自己短期的努力让学生能够掌握转化的思想方法，但在平时的教学中仍然是以传授基础知识为主，有意识地、有目的地渗透转化思想方法的并不多。学生也只是在学习相关知识时知道要用转化的思想，但是在别的时间段遇到需要用转化思想的问题时却不知道转化，这说明学生并没有具备转化的思想，把它内化成自己分析题目、解决问题的本能。
三、小学阶段为什么要渗透转化思想
数学老师经常会抱怨说:“这个题目我都讲过很多遍了，换个数据你就不会做了？”出现这个问题的原因并不全在学生身上，我们不少老师平时的数学教学往往是就知识学知识，就解题而解题，没有关注对学生数学思想方法的培养，所以他们只会解个别题，而不会解一类题。就以转化思想的渗透来说，我们大多也只是在刚才提到的有代表性的这几课的教学中会特别注意转化思想的渗透，平时的教学仍然是以传授基础知识为主，忽略了学生对转化思想的体验，忽略了学生对解决问题策略的深度思考。这样使得很多学生在老师的引导下能顺利学习新知，解决问题，但在自己面对新知识或一个陌生的、复杂的问题时，经常会束手无措。
日本著名数学教育家米山国藏指出：“学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时随地的发生作用，使他们受益终身。”
《义务教育数学课程标准》（2011年版）中也明确指出：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学生中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面不可替代的作用。”
小学是学生学习数学知识的启蒙时期，这一阶段注意给学生渗透基本的数学思想便显得尤为重要。虽然小学阶段数学教学中的数学思想还处于启蒙阶段，但正因为是启蒙阶段，学生容易接受，更应引起我们的重视。在日常教学中我们不应只以学生能够解决教材里的问题为目的，而应同时渗透一些主要的数学思想方法。其中转化的数学思想方法，能增强学生对转化策略的体验与主动应用，培养学生初步的转化意识和能力，使学生在掌握表层知识的同时领悟到深层知识，使所学知识成为一个相互联系、组织良好的知识结构，使学生有效地提高思维的灵活性，提高自己获取知识和解决问题的能力。
四、小学阶段如何进行转化思想的渗透
在小学数学教材中，编者非常重视转化思想的渗透，特别突出了转化思想在解决实际问题中的应用。如果说知识的系统传授是小学数学教学的一条明线，那么转化思想就是整个小学数学知识学习和能力培养的一条暗线，它贯穿始终，不可或缺。受年龄特征的制约，要想小学生对转化思想有深刻的理解是比较难的，因此我们更应该抓住一切可以利用的契机加以渗透，为他们将来学习数学思想理论，提高抽象思维，奠定基础。我认为小学数学教学中可以在以下几方面加强对转化思想方法加以渗透。
（一）牵线搭桥，联系新旧知识——帮助学生教学目标中明确转化思想
在小学的数学教材中，转化思想是整个小学数学知识学习和能力培养的一条无形的线索，贯穿始终。教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透转化思想重要性的认识，把掌握数学知识和渗透转化思想同时纳入教学目的，把转化思想教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行转化思想方法渗透的各种因素，对于可以渗透转化思想方法的每一章每一节，都要结合具体内容思考怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。我很重视转化思想在小学数学知识中的渗透，所以特别对苏教版小学数学知识点进行了梳理，总结出如下的渗透点。
1、转化在“数与代数”领域的渗透点
小学数学知识很多都是以旧知识为基础，在旧知识的基础上不断发展、变化、提升，从而形成新知识，尤其在运算法则的形成，更是体现的淋漓尽致。
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数与代数
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新知
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转化为
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旧知
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100以内加减法
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9、8、7、6加几
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转化为
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10加几
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20以内加减法
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转化为
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10以内加减法
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多位数加减法
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转化为
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20以内加减法
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分数加减法
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异分母分数加减法
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转化为
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同分母分数加减法
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小数加减法
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小数加减法
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转化为
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整数加减法
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乘除法
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多位数乘法
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转化为
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一位数乘法
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小数乘法
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转化为
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整数乘法
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多位数除法
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转化为
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除数是一位数的除法
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小数除法
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转化为
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整数除法
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分数除法
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转化为
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分数乘法
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方程
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稍复杂的方程
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转化为
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简单或基本的方程
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在数与代数领域，加法与减法，乘法与除法之间可以转化。求几个相同加数的和，可以转化为乘法来计算。被减数连续减去几个相同的减数，差为零，可以转化为加法来表示。在数的变换中，如百分数、分数和小数的互化；名数的互换，如单名数和复名数的互化；运算中式的变换，简便计算等等，转化思想随处可见。
2、转化在“图形与几何”领域的渗透点
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空间与图形
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新知
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转化
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旧知
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平面图形
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平面规则图形的周长
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转化为
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求各线段之和
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三角形的内角和
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转化为
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平角
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多边形的内角和转化为
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转化为
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三角形的内角和
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平行四边形的面积
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转化为
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长方形的面积
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三角形的面积
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转化为
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平行四边形的面积
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梯形的面积
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转化为
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平行四边形的面积
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圆的面积
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转化为
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长方形的面积
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组合图形的面积
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转化为
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基本图形的面积
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立体图形
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长方体、圆柱的表面积
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转化为
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平面图形的面积
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圆柱的体积
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转化为
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长方体的体积
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圆锥的体积
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转化为
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圆柱的体积
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3、转化在解决问题中的渗透点
（1）除法、分数与比之间的相互转化
分数、除法、比是小学数学中重要的内容之一，它们之间是可以相互转化的，而在比的应用中转化思想体现的更加清晰。例如：学校有篮球和排球共54个，排球的个数是篮球的。学校有篮球和排球各多少个？一般解法是列方程，或者用54÷（1+），其实我们还可以把“排球的个数是篮球的”转化为排球与篮球个数的比是1：2，这样就按比例分配来解决就容易多了。同样如果条件是：“篮球的个数是排球的2倍”或者“排球的个数是篮球的50%”都可以利用转化的思想，把它们转化为按比例分配，这样学生更容易理解。
（2）分数应用题中的转化：“已知一个数，求比这个数多（少）几分之几是多少。”转化为“已知一个数，求这个数的1加（减）几分之几是多少。”
（3）复杂应用题与简单应用题之间的相互转化
如何提高学生解决实际问题的能力？如何有效的加强数量关系的理解呢？很多数学老师都在探寻，我觉得教师对习题的设计及选择应该多从数学思想方法的角度加以考虑，安排一些能让不同学习水平的学生都可以深入浅出地作出回答的习题，通过揭示已知条件与问题之间的联系与转化，发现解题的关键性步骤，形成解题方法。
例如，在分数应用题的教学中，为了使学生熟练掌握求一个数是另一个数的几分之几的解题方法，先出示这样的基本题：“农场有白兔250只，灰兔200只，灰兔只数是白兔只数的几分之几？”再不断变换问题：
白兔只数是灰兔的几分之几？
灰兔只数是兔子总数的几分之几？
白兔只数是兔子总数的几分之几？
灰兔比白兔少几分之几？
白兔比灰兔多几分之几？
灰兔比白兔少兔子总数的几分之几？
白兔比灰兔多兔子总数的几分之几？
问题不断变化，但都是求一个数是另一个数的几分之几。目的是使学生认准谁是一个数，谁是另一个数，确定谁除以谁？从而提高对分数应用题的理解和辨别能力，逐步掌握分数应用题的解题规律，进一步运用了比较、转化等基本的数学思想方法。
（二）、循序渐进，构建知识技能——帮助学生在教学活动中感悟转化思想
任何一种数学思想方法的学习和掌握，不能像知识那样直接传授，更不是知识的简单堆积，它需要有目的、有意识地培养，需要经历渗透、反复、逐级递进、螺旋上升、不断深化的过程。离开教学活动过程，数学思想方法也就无从谈起。一般情况下，学生数学思想的形成要经历三个阶段：第一阶段模仿形成阶段，即“朦朦胧胧”、“似有所悟”；第二阶段初步应用阶段，学生开始有意识的理解在解题过程中所使用的探索方法和策略，也会概括总结了；第三阶段自觉应用阶段，也是成熟阶段，学生能根据具体的数学问题，恰当运用某种思想方法进行探索，从而解决问题。
转化思想的渗透也是如此，所以在教学过程中，我们应该创设情境引导学生，让他们以一种积极主动的状态参与到数学教学过程来，在这样的气氛下，我们的老师可以循序渐进地启发引导，让学生根据自己的体验，然后逐步领悟，用自己的思维方式构建出转化思想方法，达到逐步领悟和掌握数学思想和方法的程度。例：在教学“平行四边形的面积”一课时，我是这样设计的：
首先，通过数方格的方法数出平行四边形的面积，不满整格的算半格。
然后，用割补的方法求平行四边形的面积。教学步骤是：
（1）师：如果不借助方格能不能算出平行四边形的面积呢？
生：能，可以把平行四边形变成一个长方形来计算。
（2）学生小组合作探究剪拼的方法。
（3）观察发现平行四边形的底和高与剪拼出来的长方形的长与宽的关系，归纳出平行四边形的面积计算公式。
（4）为什么要转化成长方形呢？怎么不是其它图形？
这里的关键是让学生在教学的过程中领悟转化的思想方法，又同时在“转化”的过程中培养学生的实践创新能力，进而让学生体会要把不熟悉的、陌生的问题，转化为已经熟悉的、能解决的问题，进而提高学生解决问题的能力。
在随后学习的三角形、梯形、圆的面积计算，都是通过剪拼的方法，把要研究的图形转化成前面已学过的图形来推导出它的面积公式。同样，立体图形圆柱、圆锥的体积公式的推导也是通过转化成已学过的立体图形来解决的。学生经过一系列的操作过程知道要用转化的思想来解决，形成了解决这类题型的思路，深化的对转化思想的认识。
组织教学要特别强调循序渐进以及解决问题后的反思，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的。因此，教师要注意围绕转化思想方法的主题循序渐进地组织教学。
例如，基础题：女生有18人，占全班总数的3，全班有多少人？
提高题：女生有18人，占男生人数的，全班有多少人？
思路点拨：常见的是先18÷=36（人）算出男生人数，再把男女生人数相加，求出全班人数；也可以把“女生占男生人数的”转化为女生占全班人数的3，这样全班人数就可以用18÷3=54（人）。
拓展题：六年级上学期，女生占总人数的3。本学期又转来6名女生，这时女生占总人数的5。求现在六年级有学生多少人？
误区解读：常见错误是6÷（5- 3）=90(人)。出错的主要原因是对5、3所占的单位“1”理解不准确。3是原来总人数的3，5是现在总人数的5，所以单位“1”不同，不能反映女生人数的变化情况。
思路点拨：在这个过程中，女生的人数、总人数都在发生变化，而男生的人数是没有发生变化。因此可让男生的人数作单位“1”，来反映女生人数的变化情况。女生占总人数的3，可转化为女生占男生人数的；“本学期又转来6名女生，这时女生占总人数的5”，可转化为现在的女生占男生人数的。从而可知，6名女生占男生人数的（-），于是列算式算出男生有6÷（-）=36（人），那么现在六年级总人数用36÷（1- 5）=60（人）。（当然本题也可将分数转化为比例，原来总人数的（1- 3）等于现在总人数的（1- 5），从而将分数转化为比例。）
巩固题：1．有一堆糖果，其中奶糖占20，再放入16块水果糖后，奶糖就只占4。这一堆糖果原来多少块？
2．甲、乙两校原有图书的本数之比是7：5。如果甲校给乙校650本，那么甲、乙两校的本数的比是3：4。原来甲校有图书多少本？
在分数应用题中单位“1”会经常变化的，一定要找准，可以把条件中已知的单位“1”转化为解题时需要的单位“1”，这中间变化的过程可以和比的知识进行链接。
（三）、洞见症结，点拨关键之处——促进学生在巩固练习中体验转化思想
数学练习对数学知识的构建起着无可替代的作用。学生在练习中不仅可以掌握数学知识，形成数学技能，培养解题能力，也可以促进学生数学思想方法的体会。心理学的研究表明：当经验和领悟积累到一定程度，这种事实上已被应用多次的思想方法就会凸现出来，教学中随着运用同一种数学思想方法解决不同数学问题的机会的增多，隐藏在数学知识后面的思想方法就会逐渐引起学生的注意和思索，直至产生某种程度的领悟。这时教者把握解决问题的时机，介绍和点明某种思想方法，阐述该方法解决问题的要领，便可成功的揭开数学思想方法的神秘面纱，久而久之，有意渗透、及时点拨便会使学生沉浸其中，感受到数学思想方法的无穷魅力。
遇到比较难的问题时，如果我们从正面绞尽脑汁都无法解决或很难解决，那不如换个思路，利用转化的思想，把它转化为我们熟悉的、容易的、规则的，从而找到解题的突破口。
例如求下面图形的周长：
又如，左图是一个正方体，它的表面积是60平方厘米，如 果沿着三个方向切成3刀、3刀、2刀，共得到48个相同的小长方体，求48个小长方体的表面积和是多少平方厘米？
思路点拨：要求48个小长方体的表面积和，必须知道每个小长方体的表面积，但从已知条件，根本无法得到。如果将每个小长方体的上、下面累加，正好是正方体6个面的面积和。也就是切2刀，增加了2×2=4个面，加上原来的上、下2个面，从而将所有小长方体的上、下面转化为正方体的面。48个小长方体的表面积和相当于沿着三个方向切3刀、3刀、2刀，增加的面积加上原来正方体的6个面的面积。所以共增加了（3+3+2）×2=16个面，加上正方体原来的6个面，一共16+6=22个面，因此，60÷6×22=220（平方厘米）。（也就是将所有小长方体的表面积转化为正方体若干个面的面积之和）
又如：在学生掌握长方体、正方体的体积计算公式后，出示一个不规则的铁块，让学生求出它的体积。学生们顿时议论纷纷，认为不能用长方体、正方体的体积计算公式--直接计算。但不久就有学生提出，可以利用转化思想来计算出它的体积。通过小组讨论后，学生们的答案可谓精彩纷呈。
方法一：用一块橡皮泥，根据铁块的形状，捏成一个和它体积一样的模型，然后把橡皮泥捏成长方体或正方体，橡皮泥的体积就是铁块的体积。
方法二：把这个铁块放到一个装有水的长方体的水槽内，浸没在水中，看看水面上升了多少，拿水槽内底面的长、宽与水面上升的高度相乘得到铁块的体积。
方法三：把铁块放到一个装满水的量杯内，使之淹没，然后拿出来，看看水少了多少毫升，这个铁块的体积就是多少立方厘米。
方法四：可以请铁匠师傅帮个忙，让他敲打成一个规则的长方体后再计算。
这时，学生在转化思想的影响下，茅塞顿开，将一道生活中的数学问题既形象又有创意地解决了。从这里可以看出：学生掌握了转化的数学思想方法，就犹如有了一位“隐形”的教师，从根本上说就是获得了自己独立解决数学问题的能力。
（四）、画龙点睛，拓展应用层面——帮助学生在交流总结中升华转化思想
交流总结时要引导学生回忆问题解决的方法和过程，不断总结自己解决问题时的想法，把它进行提升，从而形成一种思想。
转化思想的升华，要使学生养成一种习惯，当要解决新问题时，先想一想能不能转化成已学过的旧知识来解决，如何沟通新旧知识的联系；当遇到复杂问题时，先想一想，能不能转化成简单问题，能不能把抽象的内容转化成具体的、能感知的现实情景或图形。
总之，转化思想的宗旨就是要化难为易、化生为熟、化繁为简、化整为零，化曲为直。从学生的数学思想形成过程中，我们不难发现学生的数学思想不可能向数学知识那样一步到位，它需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程，逐步积累而形成的。这一过程中是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的螺旋上升过程。数学思想方法的获得，除了我们教师有意识地渗透和训练外，更多地它还需要靠学生自身在反思过程中领悟，这一过程是没人能够代替的。教师在引导学生练习的过程中，让学生领悟数学思想方法应该把主动权交给学生。在数学学习过程，要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题，运用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，让学生亲身体会这一数学思想的魅力。在这些过程中，我们教师要做一个“过程”的引导者和加强者，不断用我们的数学思想“敲打”学生的思维、让学生在一次次的“敲打”过程中，不断的积累、不断的感悟、不断的明朗，直到最后的主动应用。作为一名数学教育工作者，我坚信：数学知识无需终生铭记，但数学精神会激励终生；解题技能无需终生掌握，但数学思想会受用终生！
参考文献：
[1]教育部.全日制九年义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011
[2]张艳芳，王国强.谈数学解题中的转化思想[J].科学教育，2010（5）
[3]何文源.谈化归与转化思想在数学中的应用[J]. 教学研究，2010（17）
[4]蒋明玉，《巧用转化 化难为易》[J]， 福建教育，2007．10
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