从梯子的倾斜程度谈起

教学目标　　

(一)教学知识点

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.

2.能够用表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，另外能够用正切进行简单的计算.

(二)能力训练要求

1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.

2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.

3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.

(三)情感与价值观要求

1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.

2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.

3. 明确知识来源于生活，又服务于生活。引导学生关注生活并善于用数学知识解决生活中的实际问题。　　

教学重点　　

1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.

2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.

教学难点　　

理解正切的意义，并用它来表示两边的比.

教学方法　　

引导—探索法.

教具准备　　

实物投影

教学过程　　

一、创设问题情境，引入新课。

通过实物投影简单介绍文笔塔的历史资料，我们了解了文笔塔的历史，知道了文笔塔的高度。那么，文笔塔的高度是怎样测量出来的？通过学习第一章：直角三角形的边角关系，我们就能解决这个问题。这节课我们就从梯子的倾斜程度谈起。　　

二、学生活动

（1）在图中，梯子和哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?

(2) 在图中，梯子和哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?

(3) 在图中，梯子和哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?

(4) 在图中，梯子和哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?

(5) 在图中，梯子和哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?

(6) 在图中，梯子和哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?

三、小组合作交流　　

如图,小明想通过测量及,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;但是小明在具体操作中发现：要测量的长度，要爬到梯子的最高端危险并且复杂，你能站在地面测量就能说明梯子的倾斜程度吗？

因为∽　　

所以　　

如果改变在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?　　

由于直角三角形中的锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：

如图，在Rt△ABC中，如果锐角确定，那么的对边与邻边之比便随之确定，

这个比叫做的正切(tangent)，记作，即

注意：

1. 是一个完整的符号，它表示的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.

2. 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中的对边与邻边的比

3. 初中阶段，我们只学习直角三角形中，是锐角的正切.

思考：1. 的正切如何表示?它的数学意义是什么?

2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?

[生]1. 的正切记作，表示的对边与邻边的比值，即

2.我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在图1—3

中，梯子越陡，的值越大；反过来，的值越大，梯子越陡.

四、例题讲解

[例1]如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?

分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tanα、tanβ的值，比较大小，越大，扶梯就越陡.

解：甲梯中，

tanα= .

乙梯中，

tanβ=.

因为tanβ＞tanα，所以乙梯更陡.

[例2]（先介绍坡度）

所谓坡度（）=

坡面与水平面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),

所以斜坡的坡度就是坡角的正切，坡度越大，斜坡越陡。

（投影）：小明沿山路爬山时，他发现，每走山路实际升高。则该山路的坡度是多少？

解：在中，, ,

山路的坡度为

答：山路的坡度为。

五、课时小结

本节课从梯子的倾斜程度谈起，经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“直角三角形”中定义了.

接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在

现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念.

Ⅵ.课后作业

1.习题1.1第1、2题.